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二階導數

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二次函数的二階導數是常數

微积分中,函數 二階導數(英語:second derivativesecond order derivative)是其导数的導數。粗略而言,某量的二階導數,描述該量的變化率本身是否變化得快。例如,物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度,即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法英语Leibniz notation

其中 為加速度, 為速度, 為時間, 為位置,而 表示瞬時的差值(又稱「delta」值)。最後一式 是位置 對時間的二階導數。

繪製函数图形時,二階導數描述曲線的曲率凹凸性。若函數的二階導數為正,則其圖像是向上彎,像隻杯()。反之,若其二階導數為負,則向下彎,像頂帽()。

二階導數的冪法則

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連續兩次用一階導數的冪法則英语power rule,則會推導出二階導數的冪法則,如下所示:

公式對任意實數 成立。

記法

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函數 的二階導函數常記為 ,其於 處取值為 [1][2]換言之,

其中 表示一階求導。若用萊布尼茲記法英语Leibniz's notation表示導數,則因變數 關於自變數 的二階導數記為

此種寫法的理由是, 表示對 求導,從而求導兩次應寫成:

其他記法

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前段所記,二階導數標準的萊布尼茲記法為 。然而,無法視之為純代數符號作運算。意思是,雖然看似兩個微分相除組成的分數,但是無法拆分、抵銷等。[註 1]不過,可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則[3]倘若視 為兩微分之商,則求導時,根據商法則應有:

上式中, 為二階導數,但 則不然。 表示微分算子施用於 的結果,即 ,而 表示微分算子疊代兩次的結果,即 。最後 是先微分再平方,即

若採此寫法(並依上段解讀各符號含義),則二階導數各項可以自由操作,與其他代數項作運算。例如,二階導數的反函數公式,可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過,運算上的方便,與更換符號的不便,孰輕孰重,仍待定論。[4]

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考慮

運用冪法則, 的導數 由下式給出:

的二階導數即是對導數 再次求導的結果,由下式給出:

另一個例子,考慮正弦函數 。有

而再次求導後,得到

換言之,正弦函數的二階導數是自身的相反數。

與圖像的關係

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的圖像,其中 的取值範圍是由 。當曲線向上彎時,切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點(即 )處則為紅。

凹向

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函數 的二階導數,描述其圖像凹的方向和程度,即凹性concavity)。[2]若二階導數在某區間恆正,則函數在該區間向上凹(向上彎,又稱為凸函數或下凸函數),意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之,若二階導數在某區間恆負,則函數在該區間向下凹(向下彎,又稱為凹函數或上凸函數),其切線總位於圖像的上方「壓制」着。

拐點

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若函數的二階導數在某點的左右異號,則圖像由向上彎轉變成向下彎,或反之。此種點稱為拐點inflection point)。假設二階導數連續,則在該點處必取零值,故可用「二階導數為零」之條件,篩選出可能的拐點。不過,二階導數為零的點不一定是拐點,如 ,但 在實數系上為凸,無拐點。

二階導數檢驗

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二階導數與凹凸性的關係,有助判斷函數 驻点(即滿足 的點 )是否為局部極大點極小點。具體言之:

  • ,則 點取得局部極大值。
  • ,則 點取得局部極小值。
  • ,則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點,也可能是極大或極小點。

直觀理解,考慮一架賽車高速前進,但正在減速(加速度為負),則當速度降至零的一刻,賽車所在位置即為自起點出發,能達到的前方最遠處,因為此後速度降至負值,賽車會倒車。同樣,若考慮高速後退但加速度為正的賽車,則相應得到關於極小值的結論。

極限

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二階導數若存在,則可以衹用一個极限寫出:

以上極限稱為二階對稱導數英语second symmetric derivative[5][6]但是,有時二階對稱導數存在,則函數仍沒有(平常的)二階導數。

右側欲求極限的分式,可理解成差商的差商:

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而,上述極限存在並不推出函數 二階可導。該極限僅是二階導數存在時,計算該導數的一種方法,但並非其定義。反例有符号函数 ,其定義為:

符號函數在原點不連續,從而不可導,尤其並非二階可導。但是,在 處,二階對稱導數存在:

二次近似

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正如導數與线性近似密切相關,二階導數也與二次近似如影随形。某函數 於某點的二次近似,是一個二次函数,與 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 附近的二次近似可寫成:

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式

本徵值與本徵函數

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因為求導運算為線性,所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子,從而可以研究其。換言之,可求微分方程 的函數解 本徵向量)與常數 本徵值)。對於許多種邊界條件,可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

舉例,以閉區間 為定義域,邊界採用齊次狄利克雷条件(即 ),則諸本徵值,對應本徵向量(亦稱本徵函數

給出。此處 為任意正整數。

其他情況的解,見二階導數的本徵值與本徵向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

高維推廣

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黑塞方陣

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二階導數的高維推廣,其一是同時考慮全體二階偏导数 。對於三元函數 ,二階偏導數包括

以及混合偏導數

還有其他次序的混合偏導數,如 ,但由二階導數的對稱性,衹要 滿足特定條件(如二階偏導數處處連續),則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是,各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣,稱為黑塞方陣(英語:HessianHessian matrix)。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗(稱為二階偏導數檢驗英语second partial derivative test)。

拉普拉斯算子

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另一種常見推廣,則是衹考慮對同一個變量的二階導數,再求和,得到拉普拉斯算子Laplace operatorLaplacian)。拉氏微分算子記作 。以三維情形為例,定義為

函數的拉氏算子等於梯度散度,亦是前述黑塞方陣之

參見

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  1. ^ 相對之下,一階導數的記法可以較好地「當成」分數作代數運算,如鏈式法則中的抵銷。

參考文獻

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  1. ^ Content - The second derivative [目錄:二階導數]. amsi.org.au. [2020-09-16]. (原始内容存档于2022-03-24) (英语). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ 2.0 2.1 Second Derivatives [二階導數]. Math24. [2020-09-16] (英语). [失效連結]
  3. ^ Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh. Extending the Algebraic Manipulability of Differentials [使微分更適宜代數操作]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 2019, 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553可免费查阅 (英语). 
  4. ^ Editors. Reviews [評論]. Mathematics Magazine. December 20, 2019, 92 (5): 396–397. S2CID 218542586. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628 (英语). 
  5. ^ A. Zygmund. Trigonometric Series [三角級數]. Cambridge University Press. 2002: 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 (英语). 
  6. ^ Thomson, Brian S. Symmetric Properties of Real Functions [實函數的對稱性質]. Marcel Dekker. 1994: 1. ISBN 0-8247-9230-0 (英语). 

延伸閱讀

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紙本

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網上

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