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二阶导数

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二次函数的二阶导数是常数

微积分中,函数 二阶导数(英语:second derivativesecond order derivative)是其导数的导数。粗略而言,某量的二阶导数,描述该量的变化率本身是否变化得快。例如,物体位置对时间的二阶导数是瞬时加速度,即该物体的速度随时间的变化率。用莱布尼兹记法英语Leibniz notation

其中 为加速度, 为速度, 为时间, 为位置,而 表示瞬时的差值(又称“delta”值)。最后一式 是位置 对时间的二阶导数。

绘制函数图形时,二阶导数描述曲线的曲率凹凸性。若函数的二阶导数为正,则其图像是向上弯,像只杯()。反之,若其二阶导数为负,则向下弯,像顶帽()。

二阶导数的幂法则

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连续两次用一阶导数的幂法则英语power rule,则会推导出二阶导数的幂法则,如下所示:

公式对任意实数 成立。

记法

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函数 的二阶导函数常记为 ,其于 处取值为 [1][2]换言之,

其中 表示一阶求导。若用莱布尼兹记法英语Leibniz's notation表示导数,则因变数 关于自变数 的二阶导数记为

此种写法的理由是, 表示对 求导,从而求导两次应写成:

其他记法

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前段所记,二阶导数标准的莱布尼兹记法为 。然而,无法视之为纯代数符号作运算。意思是,虽然看似两个微分相除组成的分数,但是无法拆分、抵销等。[注 1]不过,可藉另一种记法补救前述问题。此记法是基于一阶导数的商法则[3]倘若视 为两微分之商,则求导时,根据商法则应有:

上式中, 为二阶导数,但 则不然。 表示微分算子施用于 的结果,即 ,而 表示微分算子迭代两次的结果,即 。最后 是先微分再平方,即

若采此写法(并依上段解读各符号含义),则二阶导数各项可以自由操作,与其他代数项作运算。例如,二阶导数的反函数公式,可自上式经一轮代数运算而得。二阶导数的链式法则亦然。不过,运算上的方便,与更换符号的不便,孰轻孰重,仍待定论。[4]

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考虑

运用幂法则, 的导数 由下式给出:

的二阶导数即是对导数 再次求导的结果,由下式给出:

另一个例子,考虑正弦函数 。有

而再次求导后,得到

换言之,正弦函数的二阶导数是自身的相反数。

与图像的关系

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的图像,其中 的取值范围是由 。当曲线向上弯时,切线为蓝色。向下弯时则为绿。于拐点(即 )处则为红。

凹向

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函数 的二阶导数,描述其图像凹的方向和程度,即凹性concavity)。[2]若二阶导数在某区间恒正,则函数在该区间向上凹(向上弯,又称为凸函数或下凸函数),意即其切线总位于图像下方“承托”。反之,若二阶导数在某区间恒负,则函数在该区间向下凹(向下弯,又称为凹函数或上凸函数),其切线总位于图像的上方“压制”着。

拐点

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若函数的二阶导数在某点的左右异号,则图像由向上弯转变成向下弯,或反之。此种点称为拐点inflection point)。假设二阶导数连续,则在该点处必取零值,故可用“二阶导数为零”之条件,筛选出可能的拐点。不过,二阶导数为零的点不一定是拐点,如 ,但 在实数系上为凸,无拐点。

二阶导数检验

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二阶导数与凹凸性的关系,有助判断函数 驻点(即满足 的点 )是否为局部极大点极小点。具体言之:

  • ,则 点取得局部极大值。
  • ,则 点取得局部极小值。
  • ,则二阶导数检验无定论。该点或许是拐点,也可能是极大或极小点。

直观理解,考虑一架赛车高速前进,但正在减速(加速度为负),则当速度降至零的一刻,赛车所在位置即为自起点出发,能达到的前方最远处,因为此后速度降至负值,赛车会倒车。同样,若考虑高速后退但加速度为正的赛车,则相应得到关于极小值的结论。

极限

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二阶导数若存在,则可以只用一个极限写出:

以上极限称为二阶对称导数英语second symmetric derivative[5][6]但是,有时二阶对称导数存在,则函数仍没有(平常的)二阶导数。

右侧欲求极限的分式,可理解成差商的差商:

故其极限可视作序列二阶差分的连续版本。

然而,上述极限存在并不推出函数 二阶可导。该极限仅是二阶导数存在时,计算该导数的一种方法,但并非其定义。反例有符号函数 ,其定义为:

符号函数在原点不连续,从而不可导,尤其并非二阶可导。但是,在 处,二阶对称导数存在:

二次近似

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正如导数与线性近似密切相关,二阶导数也与二次近似如影随形。某函数 于某点的二次近似,是一个二次函数,与 在该点处具有一样的一、二阶导数。函数 附近的二次近似可写成:

函数的二次近似就是第二阶的泰勒多项式

本征值与本征函数

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因为求导运算为线性,所以求导两次亦可视为函数空间上的线性算子,从而可以研究其。换言之,可求微分方程 的函数解 本征向量)与常数 本征值)。对于许多种边界条件,可以明确求出二阶导数的本征值与本征向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

举例,以闭区间 为定义域,边界采用齐次狄利克雷条件(即 ),则诸本征值,对应本征向量(亦称本征函数

给出。此处 为任意正整数。

其他情况的解,见二阶导数的本征值与本征向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

高维推广

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黑塞方阵

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二阶导数的高维推广,其一是同时考虑全体二阶偏导数 。对于三元函数 ,二阶偏导数包括

以及混合偏导数

还有其他次序的混合偏导数,如 ,但由二阶导数的对称性,只要 满足特定条件(如二阶偏导数处处连续),则其他次序的混合偏导数等于上述已列出的偏导数。于是,各方向的二阶偏导数可以砌成一个对称方阵,称为黑塞方阵(英语:HessianHessian matrix)。该方阵的本征值适用于多变量情况的二阶导数检验(称为二阶偏导数检验英语second partial derivative test)。

拉普拉斯算子

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另一种常见推广,则是只考虑对同一个变量的二阶导数,再求和,得到拉普拉斯算子Laplace operatorLaplacian)。拉氏微分算子记作 。以三维情形为例,定义为

函数的拉氏算子等于梯度散度,亦是前述黑塞方阵之

参见

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  1. ^ 相对之下,一阶导数的记法可以较好地“当成”分数作代数运算,如链式法则中的抵销。

参考文献

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  1. ^ Content - The second derivative [目录:二阶导数]. amsi.org.au. [2020-09-16]. (原始内容存档于2022-03-24) (英语). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ 2.0 2.1 Second Derivatives [二阶导数]. Math24. [2020-09-16] (英语). [失效链接]
  3. ^ Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh. Extending the Algebraic Manipulability of Differentials [使微分更适宜代数操作]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 2019, 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553可免费查阅 (英语). 
  4. ^ Editors. Reviews [评论]. Mathematics Magazine. December 20, 2019, 92 (5): 396–397. S2CID 218542586. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628 (英语). 
  5. ^ A. Zygmund. Trigonometric Series [三角级数]. Cambridge University Press. 2002: 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 (英语). 
  6. ^ Thomson, Brian S. Symmetric Properties of Real Functions [实函数的对称性质]. Marcel Dekker. 1994: 1. ISBN 0-8247-9230-0 (英语). 

延伸阅读

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纸本

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网上

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