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三角换元法是一种计算积分的方法,是换元积分法的一个特例。
在积分
中,我们可以用以下的代换
这样,积分变为:
注意以上的步骤需要 a > 0 {\displaystyle a>0} 和 cos θ > 0 {\displaystyle \cos \theta >0} ;我们可以选择 a {\displaystyle a} 为 a 2 {\displaystyle a^{2}} 的算术平方根,然后用反正弦函数把 θ {\displaystyle \theta } 限制为 − π 2 < θ < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}} 。
对于定积分的计算,我们必须知道积分限是怎样变化。例如,当 x {\displaystyle x} 从0增加到 a 2 {\displaystyle {\frac {a}{2}}} 时, sin θ {\displaystyle \sin \theta } 从0增加到 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ,所以 θ {\displaystyle \theta } 从0增加到 π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 。因此,我们有:
中,我们可以用以下的代换:
(a > 0)。
以下的积分
可以用部分分式的方法来计算,但是,
则必须要用换元法:
对于含有三角函数的积分,可以用以下的代换: