多面体：修订间差异

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2023年11月14日 (二) 15:39的版本

部分的多面體
正十二面體 (正多面體)	小星形十二面體 (星形正多面體)
截半二十面體 (半正多面體)	大立方截半立方體 (均勻多面體)
小斜方截半立方体 (半正多面體)	小雙三斜三十二面體 (均勻多面體)
菱形三十面體 (卡塔蘭立體)	正五角帳塔柱 (詹森多面體)
八角棱柱 (稜柱)	正四角反稜柱 (反稜柱)

多面體（英語：Polyhedron^{[註 1]}）是指三維空間中由平面、直邊和頂點組成的幾何形狀。例如立方體就是一種多面體，其由6個正方形平面、12條直邊和8個頂點組成。多面體可以依特性分成凸多面體、凹多面體和非凸多面體，也可以依結構分成簡單多面體和複雜多面體。

凸多面體是限定凸集的多面體。每個凸多面體都可以由其頂點構建其凸包，且對於每個不共面之有限的點集的凸包也都是凸多面體。立方體和金字塔形都是凸多面體的例子。

多面體是多胞形在三維空間的例子。多胞形是多面體在任意維度更一般化的概念。

定義

多面體可以定義為「由平面和直邊組成的有界體」。然而這個定義方式並不明確，對現代數學而言更是不合格。而拎一個相關概念「凸多面體」則有明確的定義，且有多個等效的標準定義。然而，將凸多面體的「凸」這個條件拿掉之後，這樣的更廣泛的「多面體」的正式數學定義一直存在問題。「多面體」的許多定義都是在特定的上下文中給出的^[1]，有些定義比其他定義更嚴格，並且對於選擇哪一個定義還沒有達成普遍共識。其中一些定義排除了一些通常會被視為是多面體的形狀（例如有自我相交的多面體），或包括了一些不被視為有效多面體的形狀（例如邊界不是流形的立體）。克羅埃西亞數學家布兰科·格伦鲍姆（英语：Branko Grünbaum）曾評論道

多面體理論的原罪可追溯至歐幾里得，還有之後的克卜勒、龐索（英语：Louis Poinsot）、柯西……各個時期……數學家們都未能準確定義何謂『多面體』。^[2]

自此，數學家雖以特定說法對「多面體」訂定了嚴謹的定義，但任一種卻都無法完全兼容其他定義方式。

儘管如此，人們普遍認為多面體是一種立體幾何實體（solid）或（平的）曲面（surface），並且可以由其頂點（頂角的點）、邊（連接頂點的線段）和面（二維多邊形）來描述之，有時可以說它具有特定的三維內部體積。人們可以根據這些不同的定義來決定是否要將多面體描述成一個幾何實體，又或者是否要將多面體描述成一個（平的）曲面（surface）之表面，或者是否根據其重合幾何更抽像地描述它來區分這些不同的定義。^[3]

经典多面体

在经典意义上，一个多面体是一个三维形体，它由有限个多边形面组成，每个面都是某个平面的一部分，面相交于边，每条边是直线段，而边交于点，称为顶点。立方体，棱锥和棱柱都是多面体的例子。多面体包住三维空间的一块有界体积；有时内部的体也视为多面体的一部分。一个多面体是多边形的三维对应。多边形，多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体。

注释

^ 英文 polyhedron 源於古希臘語 πολύεδρον，由poly-（詞根 πολύς，多）和 -hedron（έδρα，基底、座、面）構成，即意為「多面體」。

參見

參考資料

^ Lakatos, Imre, Worrall, John; Zahar, Elie , 编, Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery, Cambridge Philosophy Classics, Cambridge: Cambridge University Press: 16, 2015, ISBN 978-1-107-53405-6, MR 3469698, doi:10.1017/CBO9781316286425, definitions are frequently proposed and argued about 已忽略未知参数|orig-date= (帮助).
^ Grünbaum, B. Polyhedra with Hollow Faces. Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; Alfred Weiss (编). Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. 1994: 43–70 [2014-10-23]. ISBN 978-94-010-4398-4. （原始内容存档于2020-09-18）.
^ Loeb, Arthur L., Polyhedra: Surfaces or solids?, Senechal, Marjorie (编), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination 2nd, Springer: 65–75, 2013, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_5

外部連結

多面体检索页（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Stella:多面体浏览（页面存档备份，存于互联网档案馆） - 浏览和打印多面体的网格的软件。包括正多面体，符合体，等等。
多面体纸制模型（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Enumeration of stellations
The Uniform Polyhedra（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Virtual Reality Polyhedra（页面存档备份，存于互联网档案馆） - The Encyclopedia of Polyhedra
Paper Models of Uniform (and other) Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Interactive 3D polyhedra in Java
World of Polyhedra - comprehensive polyhedra in flash applet, showing vertices and edges (but not shaded faces)
波麗─(Poly) 多面體展示教學軟件下載（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Electronic Geometry Models（页面存档备份，存于互联网档案馆） contains a peer reviewed selection of polyhedra with unusual properties.

[1] 英文 polyhedron 源於古希臘語 πολύεδρον，由poly-（詞根 πολύς，多）和 -hedron（έδρα，基底、座、面）構成，即意為「多面體」。

[lakatos-2] Lakatos, Imre, Worrall, John; Zahar, Elie , 编, Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery, Cambridge Philosophy Classics, Cambridge: Cambridge University Press: 16, 2015, ISBN 978-1-107-53405-6, MR 3469698, doi:10.1017/CBO9781316286425, definitions are frequently proposed and argued about 已忽略未知参数|orig-date= (帮助).

[3] Grünbaum, B. Polyhedra with Hollow Faces. Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; Alfred Weiss (编). Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. 1994: 43–70 [2014-10-23]. ISBN 978-94-010-4398-4. （原始内容存档于2020-09-18）.

[4] Loeb, Arthur L., Polyhedra: Surfaces or solids?, Senechal, Marjorie (编), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination 2nd, Springer: 65–75, 2013, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_5

[註 1]

[1]

[2]

[3]

@@ 第40行： / 第40行： @@
  | title = Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery
  | year = 2015| title-link = Proofs and Refutations }}.</ref>，有些定義比其他定義更嚴格，並且對於選擇哪一個定義還沒有達成普遍共識。其中一些定義排除了一些通常會被視為是多面體的形狀（例如有自我相交的多面體），或包括了一些不被視為有效多面體的形狀（例如邊界不是流形的立體）。[[克羅埃西亞]]數學家{{le|布兰科·格伦鲍姆|Branko Grünbaum}}曾評論道{{quote|多面體理論的[[原罪]]可追溯至[[歐幾里得]]，還有之後的[[約翰內斯·克卜勒|克卜勒]]、{{le|路易斯·龐索|Louis Poinsot|龐索}}、[[奧古斯丁·路易·柯西|柯西]]……各個時期……數學家們都未能準確定義何謂『多面體』。<ref>{{cite book |author1= Grünbaum, B. |authorlink1= :en:Branko Grünbaum |chapter= Polyhedra with Hollow Faces |editor1= Tibor Bisztriczky |editor2= Peter McMullen |editor3= Rolf Schneider |editor4= Alfred Weiss |title= Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational |date= 1994 |publisher= Springer |location=  |isbn= 978-94-010-4398-4 |pages= 43-70 |url= http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-011-0924-6_3 |access-date= 2014-10-23 |archive-date= 2020-09-18 |archive-url= https://web.archive.org/web/20200918225143/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-011-0924-6_3 |dead-url= no }}</ref>}}自此，數學家雖以特定說法對「多面體」訂定了嚴謹的定義，但任一種卻都無法完全兼容其他定義方式。
+儘管如此，人們普遍認為多面體是一種立體[[幾何形狀|幾何實體]]（solid）或（平的）曲面（surface），並且可以由其頂點（頂角的點）、邊（連接頂點的線段）和面（二維多邊形）來描述之，有時可以說它具有特定的三維內部體積。人們可以根據這些不同的定義來決定是否要將多面體描述成一個幾何實體，又或者是否要將多面體描述成一個（平的）曲面（surface）之表面，或者是否根據其[[重合幾何]]更抽像地描述它來區分這些不同的定義。<ref>{{citation|contribution=Polyhedra: Surfaces or solids?|first=Arthur L.|last=Loeb|author-link= Arthur Lee Loeb|pages=65–75|title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination|edition=2nd|editor-first=Marjorie|editor-last=Senechal|editor-link=Marjorie Senechal|publisher=Springer|year=2013|doi=10.1007/978-0-387-92714-5_5}}</ref>
 == 经典多面体 ==