# 导数

（重定向自高阶导数

## 定义

### 一般定义

 ${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$[1]:154

### 几何意义

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$

${\displaystyle P_{0}}$处的切线${\displaystyle P_{0}T}$（橘紅色），即${\displaystyle PP_{0}}$的极限位置存在时，此时${\displaystyle \Delta x\to 0}$${\displaystyle \varphi \to \alpha }$，则${\displaystyle P_{0}T}$的斜率${\displaystyle \tan \alpha }$为：

${\displaystyle \tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}\tan \varphi =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$

### 导数、导函数与微分算子

{\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0)\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1)\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x)\end{aligned}}}

${\displaystyle D(f)=(x\mapsto 2\cdot x)}$

## 历史

${\displaystyle {\frac {s}{s+h}}={\frac {f(x)}{f(x+h)}}}$

${\displaystyle s={\frac {f(x)}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}}$

## 导数的记法

### 牛顿的记法

${\displaystyle y':x'={\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {dy}{dx}}}$

### 莱布尼兹的记法

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}$${\displaystyle {\frac {d\left(f(x)\right)}{dx}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)}$${\displaystyle {\frac {d^{n}\left[f(x)\right]}{dx^{n}}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$[12]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

## 函数可导的条件

${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$

${\displaystyle x\to 0^{-}}$时，上面的比值趋于正无穷大发散，不存在，故这个符号函数在${\displaystyle x_{0}=0}$处不可导。

 左导数：${\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$[2]:118[1]:155 右导数：${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$[2]:118[1]:155

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$

## 导数与函数的性质

### 单调性

x变化时函数${\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin(x^{2})}$（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

${\displaystyle f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}f'(t)\mathrm {d} t}$

## 导数的计算

### 基本函数的导数

${\displaystyle f(x)=x^{r},}$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},}$函数${\displaystyle f}$的定义域可以是整个实数域，但导函数的定义域则不一定与之相同。例如当 ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$时：

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\tfrac {1}{2}}}\,}$[2]:119

• 底数为${\displaystyle e}$指数函数 ${\displaystyle \scriptstyle y=e^{x}}$ 的导数还是自身：${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.}$ 而一般的指数函数 ${\displaystyle y=a^{x}}$ 的导数还需要乘以一个系数：${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}$[2]:122

• 三角函数的导数仍然是三角函数，或者由三角函数构成[2]:122:
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}.}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

### 导数的求导法则

• 求导的线性性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
${\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'\,}$ （其中${\displaystyle a,b}$为常数）[2]:121
• 两个函数的乘积的导函数，等于其中一个的导函数乘以另一者，加上另一者的导函数与其的乘积
${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$ [2]:125
• 两个函数的商的导函数也是一个分式。其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数的导函数乘以分子函数后的差，而其分母是分母函数的平方。
${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ （在${\displaystyle g(x)\neq 0}$处方有意义）[2]:126
${\displaystyle f'(x)=h'[g(x)]\cdot g'(x).\,}$[2]:128

### 例子

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$

${\displaystyle x=3}$处的导数。可以先求出其导函数：

{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-\left[{\frac {\mathrm {d} \left(\ln {x}\right)}{\mathrm {d} x}}e^{x}+\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}\right]+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}

${\displaystyle f'(3)=108+6\cos(9)-{\frac {e^{3}}{3}}-\ln(3)e^{3}\,}$

## 高阶导数

### 高阶导数的求法

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\pm v)={\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\pm {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}v}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(Cu)=C{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\ }$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\cdot v)=\sum _{k=0}^{n}C_{k}^{n}{\frac {{\rm {d}}^{n-k}}{{\rm {d}}x^{n-k}}}u{\frac {{\rm {d}}^{k}}{{\rm {d}}x^{k}}}v}$莱布尼兹公式[2]:134

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}x^{\alpha }=x^{\alpha -n}\prod _{k=0}^{n-1}(\alpha -k)}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}{\frac {n!}{x^{n+1}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\ln x=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}}$

${\displaystyle \!}$

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{x}=e^{x}\ }$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}a^{x}=a^{x}\cdot \ln ^{n}a}$ ${\displaystyle (a>0)\ }$

${\displaystyle \!}$

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\sin \left(kx+b\right)=k^{n}\sin \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\cos \left(kx+b\right)=k^{n}\cos \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}$

## 多元函数的导数

### 向量值函数的导数

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\cdots ,y'_{n}(t)).}$[2]:191

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$

${\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\cdots e_{n}\right)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$的一组，那么对函数：${\displaystyle y\,:t\,\mapsto \,y_{1}(t)e_{1}+y_{2}(t)e_{2}+\cdots y_{n}(t)e_{n},}$

### 偏导数

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$

${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}$

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

${\displaystyle \nabla f({\boldsymbol {a}})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})\right]}$

### 方向导数

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}}_{0}+t{\boldsymbol {\delta }})-f({\boldsymbol {x}}_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\delta }}}}({\boldsymbol {x}}_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}_{0}+t{\boldsymbol {\delta }})-f({\boldsymbol {x}}_{0})}{t}}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$中，如果将向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}$ 选为正规基 ${\displaystyle \left({\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2},\cdots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\right)}$ 之中的一个，如${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}$，那么方向导数就是关于 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$ 的偏导数。[23]:55-56

## 推广

### 复变量导数

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$

### 弱微分

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{\mathbb {R} }v(t)\varphi (t)dt}$

### 次导数

${\displaystyle x_{0}}$的直线（红）在函数（蓝）下方，它的斜率是函数的次导数

### 非整数阶导数

${\displaystyle H^{2}(f)(x)=H[H(f)](x)=D(f)(x)=f'(x)}$

${\displaystyle 0，函数 ${\displaystyle f}$ 的s阶积分为：${\displaystyle D_{t}^{-s}f(t)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{a}^{t}(t-u)^{s-1}f(u)d(u)}$

### 导子

${\displaystyle \delta (ab)=(\delta a)b+a(\delta b)}$

## 参考与注释

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