关于组合数学的计数原理,请见“
乘法原理”。
乘积法则(英语:Product rule),也称积定则、莱布尼兹法则,是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
若已知两个可导函数
及其导数
,则它们的积
的导数为:
![{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f2ca6050d6691d537f9fafeea1a5f79e9d7cee)
这个法则可衍生出积分的分部积分法。
人们将这个法则的发现归功于莱布尼兹,以下是他的论述:设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么,uv的微分是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0bff45c2580a7741d1a7349e8127ac9d4453a75)
由于du·dv的可忽略性,因此有:
![{\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912fbf8ae92adfee560c4f1e0f47a35f7e9097e0)
两边除以dx,便得:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ec8d09d133607a94a34175bef04b9800d56e3f)
若用拉格朗日符号来表达,则等式记为
![{\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37caacc12d30bfa2ee28797391fcdf390c2d7eca)
- 假设我们要求出f(x) = x2 sin(x)的导数。利用乘积法则,可得f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x)(这是因为x2的导数是2x,sin(x)的导数是cos(x))。
- 乘积法则的一个特例,是“常数因子法则”,也就是:如果c是实数,f(x)是可微函数,那么cf(x)也是可微的,其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。
- 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。
假设
![{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba7a64e889f510b4f64fe7a5d57d5ac4a015c61)
且f和g在x点可导。那么:
![{\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a007cacf294eb53ea6b81b7d9a9aa471691185e4)
现在,以下的差
![{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894c439968a9a3b0696b27832d280d2548764704)
是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。
这个区域可以分割为两个矩形,它们面积的和为:
![{\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf1f2a3a119b01604b2f4382cfbfc841c534a9f)
因此,(1)的表达式等于:
![{\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550df5e8c2b9af2da4b4701d33d5e081430ba97e)
如果(5)式中的四个极限都存在,则(4)的表达式等于:
![{\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b954cae3a3a1543529dffa0c70bee32c7a7694c6)
现在:
![{\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ae98df0710e3b6cec9a334a53c2db12ed949cf)
因为当w → x时,f(x)不变;
![{\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d416cc9a40bca4ddd13331e775bf8aefe654b7)
因为g在x点可导;
![{\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9627e5d0d24e5155029eaa343c0a41e83a95233)
因为f在x点可导;以及
![{\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c7597a7402682c901a82330e99e916ece79476)
因为g在x点连续(可导的函数一定连续)。
现在可以得出结论,(5)的表达式等于:
![{\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cde29683a82a0a6fd76d9a68862eacecc5bf13a)
设f = uv,并假设u和v是正数。那么:
![{\displaystyle \ln f=\ln u+\ln v.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fbe99f2f5391ea826763c872c708a34d00861c)
两边求导,得:
![{\displaystyle {1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cf6b16ba8f1ac39cd6b710715dd5e8b63eb163)
把等式的左边乘以f,右边乘以uv,即得:
![{\displaystyle {d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f4c9636225bb5a6fff1548378f3c2e259f3411)
设
且f和g在x点可导。那么:
![{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29829094c25c2972df0a1fcd2ddf06aef799499f)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c7631440055bd6a8a28925affb98aa2be669ed)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd69212b8bcb4a6ea867e0d0d84741862b4dbc68)
.
- 若有
个函数
,则:
![{\displaystyle \left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa00314935a68547e79c67d71c9aa8b5491db69)
- (莱布尼兹法则)若
均为可导
次的函数,则
的
次导数为:
![{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86881c1575dac0bde417feb80ae59283ffedc9ca)
其中
是二项式系数。
乘积法则的一个应用是证明以下公式:
![{\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d7fe05b4d7897238034edb70685697c508c5e4)
其中n是一个正整数(该公式即使当n不是正整数时也是成立的,但证明需要用到其它方法)。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 1,
假设公式对于某个特定的k成立,那么对于k + 1,我们有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8acbb0c922e6cc949563cd90912f76e0fe0d41)
因此公式对于k + 1也成立。