立方體

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正六面體

(按這裡觀看旋轉模型)
類別	柏拉圖立體 正多面體
對偶多面體	正八面體
識別
名稱	正六面體
參考索引	U06, C18, W3
鮑爾斯縮寫	cube
數學表示法
施萊夫利符號	{4,3}
威佐夫符號	3 | 2 4
康威表示法	C
性質
面	6
邊	12
頂點	8
歐拉特徵數	F=6, E=12, V=8 （χ=2）
二面角	90°
組成與佈局
面的種類	正方形
面的佈局	6個{4}
頂點圖	4.4.4
對稱性
對稱群	Oh
特性
正凸環帶多面體
圖像
4.4.4 （頂點圖） （展開圖）

在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂點，是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性，即考克斯特BC₃對稱性，施萊夫利符號{4,3}，考克斯特-迪肯符號，其對偶多面體為正八面體。

性質

面的組成：正方形
面的數目：6
邊的數目：12
頂點數目：8
表面積：$6a^{2}\$
體積：$a^{3}\$
二面角角度：$90^{\circ }$
外接球半徑：${\sqrt {\frac {3}{4}}}a$$\approx 0.866a$
內接球半徑：${\frac {a}{2}}$
對偶多面體：正八面體

在所有表面積一定的長方體中，立方體的體積最大，同樣，在所有線性大小（長寬高之和）一定的長方體中，立方體的體積也是最大的。反過來，體積相等的長方體中，立方體擁有最小表面積和線性大小。

頂點坐標及表面方程

在三維直角坐標系中，對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為2的立方體，其頂點坐標為 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有滿足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的點(x,y,z)。

在R³中，以點(x₀,y₀,z₀)為中心的立方體表面是點(x,y,z)的運動軌跡，其中x,y,z滿足：

$\lim _{n\to \infty }(x-x_{0})^{n}+(y-y_{0})^{n}+(z-z_{0})^{n}-a^{n}=0.$

幾何性質

立方體有11種不同的展開圖，即是說，我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而將其展平為平面圖形，見右圖。

立方體的11種不同展開圖

如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色，則我們至少需要3種顏色（類似於四色問題）。

立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體，因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌（三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體）。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的，因此，它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體（它所有相對的面關於立方體中心中心對稱）。

將立方體沿對角線切開，能得到6個全等的正4稜柱（但它不是半正的，底面棱長與側棱長之比為2:√3）將其正方形面貼到原來的立方體上，能得到菱形十二面體（兩兩共面三角形合成一個菱形）。

正交投影

我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上，這些投影都各自攜帶有立方體原本BC₃對稱性的一部分。

正交投影

正對於	正方形面	頂點
考克斯特群	B2	A2
投影 對稱性	[4]	[6]
傾斜視角

半正對稱性與表面塗色

作為正多面體之一，立方體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區分的。可是我們也可以想象將立方體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性，即正八面體對稱性O_h中，立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性D_4h則將立方體描述得像一個正四稜柱，有兩個顏色相同的上下底面，其餘4個側面顏色相同。立方體最低的對稱性D_2h也將立方體描述的像一個稜柱，不過是長方形稜柱，即一個長方體，它的相對的面顏色相同，而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號、考克斯特-迪肯符號和Wythoff符號。此外，由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱，立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶，即正三偏方面體。

名稱	正六面體	正四稜柱	長方體	正三偏方面體
考克斯特符號
施萊夫利符號	{4,3}	{4}×{}	{}×{}×{}
Wythoff符號	3 | 4 2	4 2 | 2	2 2 2 |
對稱性	Oh (*432)	D4h (*422)	D2h (*222)	D3d (2*3)
對稱群階	24	16	8	12
圖像 (半正表面塗色)	(111)	(112)	(123)	(111), (112), (122), 及(222)

相關多面體及鑲嵌

• 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的${\sqrt {2}}$，其體積為立方體體積的${\frac {1}{3}}$。

正四面體外接正六面體

• 立方體的對偶多面體是正八面體。

當正八面體在立方體之內：
正八面體體積 : 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊³
=(1/3)(n/2)[(n²)/2]2 : n³
=1 : 6

• 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
• 截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出
• 截角立方體
• 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方體是一個大家族，即立方形家族（又稱超方形、正測形）的3維成員，它們都具有相似的性質（如二面角都是90°、有類似的超體積公式，即V_n-cube=aⁿ等）。
• 長方體、偏方面體的特例。

將立方體對映映射後的到的商形成的一個實射影多面體，即立方體半形（hemicube）（不應叫其「半立方體」，因為其易與『demicube’混淆）。

Hemi-立方體是立方體2到1的商

正方體的對偶多面體是正八面體，如果原正方體棱長為1，則對偶正八面體棱長為√2。

正方體是一種最特殊的四邊形正六面體：

名稱	棱長相等？	對角相等？	各角為直角？
立方體	是	是	是
菱面體	是	是	否
長方體	否	是	是
平行六面體	否	是	否
四邊形正六面體	否	否	否

立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為半(Demi-)立方體的正四面體。這兩個正四面體組合到一起，就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體（Stella Octagula）。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味着，正四面體的對稱群A₃是正方體對稱群的子群，對應着能將半立方體變換到自身的對稱變換，立方體其餘的對稱變換能將兩個半立方體變換到對方。一個這樣的正四面體占據了立方體體積的¹/₃,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐，各占立方體體積的¹/₆。

從立方體各棱中點處切掉立方體的角，我們會發現原先立方體的正方形面變成了其對偶的正方形面，而切掉的頂點處出現了新的正三角形面，這樣的操作叫「截半」（rectification），得到的半正多面體叫截半立方體（rectified cube），又叫立方八面體（cuboctahedron）。如果我們不在棱中點處截它，則這種操作叫「截角」（truncation），正方形面變成了八邊形。如果截的合適，則我們可將正方形截成正八邊形，得到的半正多面體叫截頂立方體（truncated cube）。如果我們同時截掉立方體的棱和頂，則這種操作叫「截棱」（centellation），如果截的恰當，得到的半正多面體是小斜方截半立方體（rhombicuboctahedron）。

正十二面體有20個頂點，它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組，這8個頂點兩兩相連，構成內接在正十二面體內部的立方體，它的棱都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起，構成複合多面體——五複合立方體。

正十二面體內部的五複合立方體

如果我們完全切掉立方體相對的兩個頂點，我們會得到一個非正的八面體，將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上，則我們得到截半立方體。
立方體與所有其它擁有BC₃對稱性的多面體（如正八面體和立方八面體）構成正八面體家族：

半正正八面體家族多面體

對稱性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面體的對偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

此外，立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關：

多面體				歐式鑲嵌	雙曲鑲嵌
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	...	{∞,3}

立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關：

多面體		歐式鑲嵌	雙曲鑲嵌
{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	...	{4,∞}

立方體是正四稜柱：

正多邊形柱體系列

對稱群	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[2n,2] [n,2] [2n,2+]
圖像
球面多面體
圖像

類別	柏拉圖立體					卡塔蘭立體
種子	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒角	cT	cC	cO	cD	cI	caC	caD

應用

• 日常生活
  • 食鹽和糖的結晶體都是立方狀。
  • 骰子最常見的形狀就是立方體。
  • 1967年世界博覽會的「立方體房間」
  • 中國國家游泳中心俗稱「水立方」
• 遊戲
  • 索馬立方
  • 魔術方塊
  • 扭扭骰
  • 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方（僅有一個解法）[1]
  • 康威立方：以3個1×1×3，13個1×2×4，及1×2×2和2×2×2的長方體各一個，組成一個5×5×5的立方（572個解）[2]
• 視錯覺
  • 奈克方塊
  • 不可能方塊（下圖）
• 數論
  • 立方數

數學問題

由正方體展開圖可得知正方體表面積算法

正六邊形的切法：沿上底兩條鄰邊的中點，切至下底兩條鄰邊的中點

倍立方體問題

參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出${\sqrt[{3}]{2}}$的位置

最大的橫切面

立方體的橫切面只有四種：

• 三角形
• 矩形
• 五邊形
• 六邊形

其中以正六邊形的面積最大,若立方體的棱長為a,則正六邊形的面積為${\frac {3{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}$。

參見

• 四角柱
• 超方形
• 正八面體

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因, 立方體 （參閱柏拉圖立體） 於MathWorld（英文）
• 摺紙立方體 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 埃里克·韋斯坦因. 立方體. MathWorld.  （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Mathematische Basteleien （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）