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向量分析

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向量分析,或称为向量微积分(英语:Vector calculus)是数学的一个分支,主要研究在3维欧几里得空间向量场微分积分。“向量分析”有时也用作多元微积分的代名词,其中包括向量分析,以及偏微分多重积分等更广泛的问题。

向量分析在微分几何偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理工程中,特别是电磁场引力场和流体流动的描述中。

向量分析由约西亚·吉布斯奥利弗·黑维塞于19世纪末从四元数分析发展而来,大多数符号和术语由吉布斯和爱德华·比德韦尔·威尔逊英语Edwin Bidwell Wilson在《向量分析》(1901)中提出。向量演算的常规形式中使用外积,不能推广到更高维度,而另一种几何代数的方法运用了可推广的外积,下文将会讨论。

基本对象

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标量场

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标量场将空间中的每点与标量值相关联。标量是代表物理量的数字。标量场的应用如空间中的温度分布、流体中的压强分布、零旋量子场(称为标量玻色子)如希格斯场。这些场是标量场论的研究对象。

向量场

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向量场向量分配给空间中的每一点。[1]例如,平面中的向量场可形象地理解为一组箭头的集合,每个都有给定的大小与方向,并与平面上的点相关联。向量场常用于模拟运动流体在整个空间中的速度和方向,或某种(如磁力引力)在点之间变化时的强度和方向。例如,这可用于计算在一条线上所做的

向量和伪向量

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在更高级的处理中,进一步区分了伪向量场和赝标量场,它们只在反向映射下符号会变化:例如,向量场的旋度是伪向量场,若反射一个向量场,旋度会指向相反的方向。这种区别在几何代数中有阐述,下详。

向量运算

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代数运算

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向量分析中的基本代数(非微分)的运算称为向量代数,定义在一向量空间,然后应用到整个向量场,基本代数运算有:

向量分析基本代数运算
运算 记作 描述
向量加法 两个向量相加,产生向量。
标量乘法 标量和向量相乘,产生向量。
内积 / 点积 两个向量相乘,产生标量。
外积 / 叉积 中两向量相乘,产生(伪)向量。

两种三重积也比较常见:

向量分析中的三重积
运算 记作 描述
标量三重积 向量与两向量叉积的点积。
向量三重积 向量与两向量叉积的叉积。

三重积不常作为基本运算,不过仍可以用内积及外积表示。

微分运算

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向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子,通常用的向量算子(∇)来表示,也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算:

算子 表示 叙述 界域
梯度 标量场 于场中某点增加率最大的速率与方向 标量场的梯度是向量场
散度 向量场 于场中某点附近发散汇聚的程度 向量场的散度是标量场
旋度 向量场 于场中某点附近旋转的程度 向量场的旋度是向量场
向量拉普拉斯算子英语Vector Laplacian 均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度 向量场的向量拉普拉斯是向量场
拉普拉斯算子 对标量场 梯度运算后,再作散度运算 标量场的拉普拉斯是标量场

定理

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同样,也有几个与这几个相关的重要定理,将微积分基本定理拓展到了更高维度:

定理 表示 注解
梯度定理 梯度(向量)场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理 平面内向量场中区域的标量旋度,等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。
斯托克斯定理 内向量场的旋度的曲面积分,等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理 \oiint 向量场的散度对体积的积分,等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

应用

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线性近似

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线性近似用几乎相同的线性函数代替复杂函数。给定实值可微函数,对接近,可以用下式近似

右式是图形在处切线的平面方程。

最优化

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对连续可微多变量函数,若其所有偏导数P点都为零(梯度为零),则P点是一个临界点。临界值是函数在临界点上的值。

若函数光滑,或至少2次连续可微,则临界点可能是局部极值鞍点。考虑二阶导的黑塞矩阵特征值,可以区分不同情形。

费马引理,可微函数的局部极值都出现在临界点上。因此,要找到局部极值,只需计算梯度的零点及当处的黑塞矩阵特征值。

物理学与工程学

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向量分析尤其适于研究

推广

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向量分析还可推广到其他3-流形及高维空间。

不同3-流形

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向量分析起初是在欧氏空间中,不仅是3维实向量空间,还具有额外结构,即:由内积定义范数(给出长度概念),又引出角度与方向,方向又分左右手。这些结构产生了体积形式,以及在向量分析中常用的叉积

梯度与散度只需要内积,旋度和叉积还需要考虑坐标轴的手性。

若其他3维实向量空间有内积(或更一般的对称非退化形式)核方向,向量分析就可在这些空间上定义;这比欧氏空间的同构数据要少,因为不需要坐标轴集(参照系),这反映了向量分析在旋转(特殊正交群SO(3))下不变的事实。

更一般地说,向量分析可定义在任意3维有向黎曼流形,或更一般的伪黎曼流形上。这种结构就是每点的切空间都有内积与方向,更一般地说是有对称非退化度量张量与方向。向量分析根据每点的切向量定义,所以有效。

其他维度

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大多数分析结果都可以通过微分几何机制轻松理解,向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子(产生调和分析)可轻易推广到其他维度,而旋度和叉积则不能直接推广。

从一般观点来看,(3维)向量分析中的各种场被统一视作k向量场:标量场是0-向量场,向量场是1-向量场,伪向量场是2-向量场,伪标量场是3-向量场。在更高维度中,还有更多类似的场(标量/向量/伪向量/伪标量对应0/1/n-1/n维,这在3维中详尽无遗),因此不能只用(伪)标量和(伪)向量。

在任意维度中,假定一个非退化形式,标量函数的梯度是向量场,而向量场的散度是标量函数,但只有3维、7维[2](1维、0维是平凡的)中,才能定义叉积(其他维度的推广或要n-1个向量才能得到一个向量,或要用李代数代替,即更一般的反对称双线性积)。总之,向量场的旋度是二重向量场,可解释为无穷小旋转的特殊正交李代数;但这不能视作向量场,因为维数不同——3维旋转有3维,但4维旋转有6维(n维中的旋转有维)。

向量分析有两个重要的替代性推广。第一个是几何代数,用k向量场(3维及以下时,k向量场都可用标量函数或向量场识别,但更高维并非如此)。外积取代了叉积,可在所有维度中,由两个向量场输出一个二重向量场。这产生了作为向量空间上代数结构的克利福德代数(具有有向非退化形式)。几何代数主要用于物理学等应用领域向更高维的推广。

第二个运用微分形式k余向量场),在数学中有广泛应用,尤常见于微分几何几何拓扑调和分析等领域,在有向伪黎曼流形上产生了霍奇理论。从这个角度看,梯度、旋度、散度分别对应0形式、1形式、2形式的外导数,而向量分析的关键定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。

从这两种推广来看,向量分析隐式地标识了不同的数学对象,使表述更简单,但底层的数学结构与推广却不那么清晰。从几何代数的角度来看,向量分析隐式地将k向量场与向量场与标量函数区分开来:0向量与3向量同标量有关,1向量和2向量同向量有关。从微分形式的角度来看,向量分析隐式地将k形式同标量场与向量场相联系:0形式、3形式与标量场有关,1形式、2形式与向量场有关。因此,举例来说,旋度自然地将向量场或1形式作为输入,将2向量场或2形式作为输出(因此是伪向量场),然后将其解释为向量场,而非直接从向量场映射到向量场,这在高维空间反映为旋度的输出不是向量场。

参见

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参考文献

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脚注

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  1. ^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel. Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012: 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. 
  2. ^ Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

参考资料

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外部链接

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延伸阅读

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