微分

提示：此條目的主題不是微分學。

函數的微分（英語：Differential of a function）是指對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。

微分在數學中的定義：由$y$是$x$的函數($y=f(x)$)。從簡單的平面直角坐標系來看，自變量$x$的變化量趨近於0時(${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$)，因變量$y$的變化量也趨近於0，但$x$和$y$的變化量都趨近於0。當$x$有極小的變化量時，這稱為$x$的微分。

當某些函數$\textstyle f$的自變量$\textstyle x$有一個微小的改變$\textstyle h$時，函數的變化可以分解為兩個部分。

一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量$\textstyle h$，可以表示成$\textstyle h$和一個與$\textstyle h$無關，只與函數$\textstyle f$及$\textstyle x$有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在$\textstyle h$上的值。

另一部分是比$\textstyle h$更高階的無窮小，也就是說除以$\textstyle h$後仍然會趨於零。當改變量$\textstyle h$很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在$\textstyle x$處的微分，記作$\displaystyle f'(x)h$或$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)$。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量$\textstyle h$映射到變化量的線性部分的線性映射$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}$。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分

定義

函數在一點的微分。其中紅線部分是微分量${\textrm {d}}y$，而${\textrm {d}}y$加上灰線部分後是實際的改變量$\Delta y$

設函數$y=f(x)$在某區間${\mathcal {I}}$內有定義。對於${\mathcal {I}}$內一點$x_{0}$，當$x_{0}$變動到附近的$x_{0}+\Delta x$（也在此區間內）時，如果函數的增量$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$可表示為 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（其中$A$是不依賴於$\Delta x$的常數），而$o(\Delta x)$是比$\Delta x$高階的無窮小，那麼稱函數$f(x)$在點$x_{0}$是可微的，且$A\Delta x$稱作函數在點$x_{0}$相應於自變量增量$\Delta x$的微分，記作${\textrm {d}}y$，即${\textrm {d}}y=A\Delta x$，${\textrm {d}}y$是$\Delta y$的線性主部。

通常把自變量$x$的增量$\Delta x$稱為自變量的微分，記作${\textrm {d}}x$，即${\textrm {d}}x=\Delta x$。

和導數的關係

微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念。可微的函數，其微分等於導數乘以自變量的微分${\textrm {d}}x$，換句話說，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。於是函數$y=f(x)$的微分又可記作${\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x$。

幾何意義

設$\Delta x$是曲線$y=f(x)$上的點$P$在橫坐標上的增量，$\Delta y$是曲線在點$P$對應$\Delta x$在縱坐標上的增量，${\textrm {d}}y$是曲線在點$P$的切線對應$\Delta x$在縱坐標上的增量。當$\left|\Delta x\right|$很小時，$\left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|$比$\left|\Delta x\right|$要小得多(高階無窮小)，因此在點$P$附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

例子

設有函數$f:x\mapsto x^{2}$，考慮它從某一點$x$變到$x+{\textrm {d}}x$。這時，函數的改變量$f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)$等於：

$f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}$

$=2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)$

其中的線性主部：$Adx=2xdx$，高階無窮小是$o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}$。 因此函數$\textstyle f$在點$\textstyle x$處的微分是${\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x$。函數的微分與自變量的微分之商${\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)$，等於函數的導數。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}$，尤其$y=ax^{n}$

$=nax^{(n-1)}$

以下有一例子： 當方程式為$y=2x^{2}$時，就會有以下的微分過程。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

$={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}$

$=2\cdot 2x^{(2-1)}$

$=4x$

微分法則

和求導一樣，微分有類似的法則。例如，如果設函數$u$、$v$可微，那麼：

• $\mathrm {d} (au+bv)=\mathrm {d} au+\mathrm {d} bv=a\mathrm {d} u+b\mathrm {d} v$
• $d(uv)=udv+vdu$
• $d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}$
• 若函數$y(u)$可導，那麼$d[y(u)]=y'(u)du$

極值

主條目：極值

多元函數微分

主條目：全微分

當自變量是多元變量時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數，但偏導數只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定義

設$f$是從歐幾里得空間Rⁿ（或者任意一個內積空間）中的一個開集$\Omega$射到R^m的一個函數。對於$\Omega$中的一點$x$及其在$\Omega$中的鄰域$\Lambda$中的點$x+h$。如果存在線性映射$A$使得對任意這樣的$x+h$,

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0$

那麼稱函數$f$在點$x$處可微。線性映射$A$叫做$f$在點$x$處的微分，記作${\textrm {d}}f_{x}$。

如果$f$在點$x$處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別，多元函數的微分也叫做全微分或全導數。

當函數在某個區域的每一點$x$都有微分${\textrm {d}}f_{x}$時，可以考慮將$x$映射到${\textrm {d}}f_{x}$的函數：

${\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}$

這個函數一般稱為微分函數。

性質

• 如果$f$是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。
• 在Rⁿ（或定義了一組標準基的內積空間）裡，函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫：

設$f$是從Rⁿ射到R^m的函數，$f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})$，那麼：

${\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$。

具體來說，對於一個改變量：$h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}$，微分值：

${\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}$

• 可微的必要條件：如果函數$f$在一點$x_{0}$處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$都存在，但反之不真。
• 可微的充分條件：如果函數$f$在一點$x_{0}$的雅克比矩陣的每一個元素${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$都在$x_{0}$連續，那麼函數在這點處可微，但反之不真。

例子

函數$f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)$是一個從$\mathbb {R} ^{2}$射到$\mathbb {R} ^{3}$的函數。它在某一點$(x,y)$的雅可比矩陣為：

$J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}$

微分為：${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)$，也就是：

${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}$

微分與微分形式

主條目：微分形式

如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點$x$給出一個近似描述函數性質的線性映射${\textrm {d}}f_{x}$，而微分形式對區域$\mathbf {D}$內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式：$\omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R}$。在坐標記法下，可以寫成：

$\omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$

其中的${\textrm {d}}x^{i}$是$i$-射影算子，也就是說將一個向量$v$射到它的第$i$個分量$v^{i}$的映射。而${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$是滿足：

${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}$

的k-形式。

特別地，當$f$是一個從Rⁿ射到R 的函數時，可以將${\textrm {d}}f_{x}$寫作：

${\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}$

正是上面公式的一個特例。

參見

• 微分學
• 微積分
• 導數
• 積分
• 偏導數
• 外微分
• 泰勒公式

參考來源

• 齊民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.