微分

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

數學中,微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變數的取值作足夠小的改變時,函數的值是怎樣改變的。當某些函數\scriptstyle f的自變數\scriptstyle x有一個微小的改變\scriptstyle h時,函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分:在一維情況下,它正比於自變數的變化量\scriptstyle h,可以表示成\scriptstyle h和一個與\scriptstyle h無關,只與函數\scriptstyle f\scriptstyle x有關的量的乘積;在更廣泛的情況下,它是一個線性映射作用在\scriptstyle h上的值。另一部分是比\scriptstyle h更高階的無窮小,也就是說除以\scriptstyle h後仍然會趨於零。當改變數\scriptstyle h很小時,第二部分可以忽略不計,函數的變化量約等於第一部分,也就是函數在\scriptstyle x處的微分,記作\displaystyle f'(x)h\displaystyle df_x(h)。如果一個函數在某處具有以上的性質,就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微,便稱函數在該點不可微。

在古典的微積分學中,微分被定義為變化量的線性部分,在現代的定義中,微分被定義為將自變數的改變數\scriptstyle h映射到變化量的線性部分的線性映射\displaystyle df_x。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在,就一定是唯一的。

一元微分[編輯]

定義[編輯]

函數在一點的微分。其中紅線部分是微分量dy,而加上灰線部分後是實際的改變數\Delta y

函數y = f(x)在某區間\mathcal{I}內有定義。對於\mathcal{I}內一點x_{0},當x_{0}變動到附近的x_{0}+\Delta x(也在此區間內)時。如果函數的增量\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})可表示為 \Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)(其中A是不依賴於\Delta x常數),而o( \Delta x)是比\Delta x高階的無窮小,那麼稱函數f(x)在點x_{0}可微的,且A \Delta x稱作函數在x_{0}相應於自變數增量\Delta x的微分,記作dy,即dy = A \Delta xdy\Delta y線性主部[1]:141

通常把自變數x的增量\Delta x稱為自變數的微分,記作dx,即dx = \Delta x

和導數的關係[編輯]

微分和導數是兩個不同的概念。但是,對一元函數來說,可微與可導是完全等價的概念[1]:141。可微的函數,其微分等於導數乘以自變數的微分dx,換句話說,函數的微分與自變數的微分之商等於該函數的導數。因此,導數也叫做微商。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx[2]

幾何意義[編輯]

\Delta x曲線y = f(x)上的點P在橫坐標上的增量,\Delta y曲線在點P對應\Delta x在縱坐標上的增量,dy是曲線在點P切線對應\Delta x在縱坐標上的增量。當\left| \Delta x \right|很小時,\left| \Delta y - dy \right|\left| \Delta y \right|要小得多(高階無窮小),因此在點P附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

例子[編輯]

設有函數f : x \mapsto x^2,考慮它從某一點\scriptstyle x變到\scriptstyle x + dx。這時,函數的改變數f(x +dx) - f(x)等於:

f(x+dx) - f(x)= (x + dx)^2 - x^2
= 2x \cdot dx + (dx)^2 = Adx + o(dx)

其中的線性主部:A = 2x,高階無窮小是o(dx)= (dx)^2。 因此函數\scriptstyle f在點\scriptstyle x處的微分是dy = 2xdx。函數的微分與自變數的微分之商\frac{dy}{dx} = 2x = f^{\prime}(x),等於函數的導數。

微分法則[編輯]

和求導一樣,微分有類似的法則。例如,如果設函數uv可微,那麼:

  • d(au + bv) = adu + bdv
  • d(uv) = udv + vdu
  • d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu - udv}{v^2}
  • 若函數y(u)可導,那麼d(y(u)) = y'(u)du[1]:139

多元函數微分[編輯]

當自變數是多元變數時,導數的概念已經不適用了(儘管可以定義對某個分量的偏導數),但仍然有微分的概念。

定義[編輯]

f是從歐幾里得空間Rn(或者任意一個內積空間)中的一個開集\Omega射到Rm的一個函數。對於\Omega中的一點x及其在\Omega中的鄰域\Lambda中的點x+h。如果存在線性映射A使得對任意這樣的x+h,

\lim_{h \to 0} \left( \frac{|f (x+h) - f(x) - A(h)|}{|h|} \right) = 0

那麼稱函數f在點x處可微。線性映射A叫做f在點x處的微分,記作df_x

如果f在點x處可微,那麼它在該點處一定連續,而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別,多元函數的微分也叫做全微分全導數

當函數在某個區域的每一點x都有微分df_x時,可以考慮將x映射到df_x的函數:

df : x \mapsto df_x

這個函數一般稱為微分函數[3]

性質[編輯]

  • 如果f是線性映射,那麼它在任意一點的微分都等於自身。
  • Rn(或定義了一組標準基的內積空間)裡,函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫:
f是從Rn射到Rm的函數,f = (f_1, f_2, \cdots , f_m),那麼:
df_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}

具體來說,對於一個改變數:h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i,微分值:

df_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix}
h_1 \\
\vdots \\h_n
\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i
  • 可微的必要條件:如果函數f在一點x_0處可微,那麼雅克比矩陣的每一個元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都存在,但反之不真[4]:76
  • 可微的充分條件:如果函數f在一點x_0的雅克比矩陣的每一個元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都在x_0連續,那麼函數在這點處可微,但反之不真[4]:77

例子[編輯]

函數 f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)是一個從R2射到R3的函數。它在某一點(x, y)的雅可比矩陣為:

J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}

微分為:df_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h),也就是:

df_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\
(1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\
(1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}

微分與微分形式[編輯]

如果說微分是導數的一種推廣,那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點x給出一個近似描述函數性質的線性映射df_x,而微分形式對區域\mathbf{D}內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}。在坐標記法下,可以寫成:

\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}

其中的dx^{i}i-射影算子,也就是說將一個向量v射到它的第i個分量v^{i}的映射。而x^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}是滿足:

x^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}

k-形式。

特別地,當f是一個從Rn射到R 的函數時,可以將df_x寫作:

df_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) dx^{i}

正是上面公式的一個特例[5]

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 歐陽光中 姚允龍 周淵 編. 《數學分析(上冊)》. 復旦大學出版社. 2003. ISBN 7-309-03570-4/O.305 請檢查|isbn=值 (幫助). 
  2. ^ 梁子傑. 「可微」還是「可導」?. 數學教育. 
  3. ^ 微分函數. 逢甲大學網路教學實驗室. 
  4. ^ 4.0 4.1 徐森林,薛春華. 《數學分析(第二冊)》. 清華大學出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0. 
  5. ^ B.A.卓里奇 著,蔣鐸、錢佩玲、周美珂、鄺榮雨 譯. 《數學分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183頁.
  • 齊民友. 《重溫微積分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
  • Walter Rudin. 《數學分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.