立方体
![本页使用了标题或全文手工转换](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Zh_conversion_icon_m.svg/35px-Zh_conversion_icon_m.svg.png)
![]() (按这里观看旋转模型) | |||
类别 | 柏拉图立体 正多面体 | ||
---|---|---|---|
对偶多面体 | 正八面体![]() | ||
识别 | |||
名称 | 正六面体 | ||
参考索引 | U06, C18, W3 | ||
鲍尔斯缩写 | cube![]() | ||
数学表示法 | |||
施莱夫利符号 | {4,3}![]() | ||
威佐夫符号 | 3 | 2 4 | ||
康威表示法 | C![]() | ||
性质 | |||
面 | 6 | ||
边 | 12 | ||
顶点 | 8 | ||
欧拉特征数 | F=6, E=12, V=8 (χ=2) | ||
二面角 | 90° | ||
组成与布局 | |||
面的种类 | 正方形 | ||
面的布局 | 6个{4} | ||
顶点图 | 4.4.4 | ||
对称性 | |||
对称群 | Oh | ||
特性 | |||
正凸环带多面体 | |||
图像 | |||
| |||
在几何学中,立方体,是由6个正方形面组成的正多面体,故又称正六面体、正方体或正立方体。它有12条棱(边)和8个顶点,是五个柏拉图立体之一。
立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三方偏方面体、菱形多面体、平行六面体,就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有正八面体对称性,即考克斯特BC3对称性,施莱夫利符号{4,3},考克斯特-迪肯符号,其对偶多面体为正八面体。
性质
[编辑]面的组成:正方形
面的数目:6
边的数目:12
顶点数目:8
表面积:
体积:
二面角角度:
外接球半径:
内接球半径:
对偶多面体:正八面体
在所有表面积一定的长方体中,立方体的体积最大,同样,在所有线性大小(长宽高之和)一定的长方体中,立方体的体积也是最大的。反过来,体积相等的长方体中,立方体拥有最小表面积和线性大小。
顶点坐标及表面方程
[编辑]在三维直角坐标系中,对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体,其顶点坐标为 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。
在R3中,以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹,其中x,y,z满足:
几何性质
[编辑]立方体有11种不同的展开图,即是说,我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形,见右图。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Planificacao_cubo.gif/220px-Planificacao_cubo.gif)
如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色,则我们至少需要3种颜色(类似于四色问题)。
立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体,因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌(三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体)。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的,因此,它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体(它所有相对的面关于立方体中心中心对称)。
将立方体沿对角线切开,能得到6个全等的正4棱柱(但它不是半正的,底面棱长与侧棱长之比为2:√3)将其正方形面贴到原来的立方体上,能得到菱形十二面体(两两共面三角形合成一个菱形)。
正交投影
[编辑]我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上,这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。
正对于 | 正方形面 | 顶点 |
---|---|---|
考克斯特群 | B2![]() |
A2![]() |
投影 对称性 |
[4] | [6] |
倾斜视角 | ![]() |
![]() |
半正对称性与表面涂色
[编辑]作为正多面体之一,立方体拥有较高的对称性,它的所有面在几何上都是相同的,不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”,使它其的不同面拥有不同的“几何意义”,使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性,即正八面体对称性Oh中,立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱,有两个颜色相同的上下底面,其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱,不过是长方形棱柱,即一个长方体,它的相对的面颜色相同,而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号和Wythoff符号。此外,由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱,立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶,即正三偏方面体。
名称 | 正六面体 | 正四棱柱 | 长方体 | 正三偏方面体 |
---|---|---|---|---|
考克斯特符号 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
施莱夫利符号 | {4,3} | {4}×{} | {}×{}×{} | |
Wythoff符号 | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |
对称性 | Oh (*432) |
D4h (*422) |
D2h (*222) |
D3d (2*3) |
对称群阶 | 24 | 16 | 8 | 12 |
图像 (半正表面涂色) |
![]() (111) |
![]() (112) |
![]() (123) |
![]() (111), (112), (122), 及(222) |
相关多面体及镶嵌
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Tetraeder-Animation.gif)
- 将立方体的其中四个顶点相连,而这四个顶点任何两条都没有落在立方体同一条的边上,可得到一个正四面体,其边长为立方体边长的,其体积为立方体体积的。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Octahedron_in_Cube.png/150px-Octahedron_in_Cube.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Cube_in_Octahedron.png/150px-Cube_in_Octahedron.png)
当正八面体在立方体之内:
正八面体体积 : 立方体体积
=[(1/3)×高×底面积]×2 : 边3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6
- 星形八面体的对角线可组成一个立方体。
- 截半立方体:从一条棱斩去另一条棱的中点得出
- 截角立方体
- 超正方体:立方体在高维度的推广。更加一般的,立方体是一个大家族,即立方形家族(又称超方形、正测形)的3维成员,它们都具有相似的性质(如二面角都是90°、有类似的超体积公式,即Vn-cube=an等)。
- 长方体、偏方面体的特例。
将立方体对映映射后的到的商形成的一个实射影多面体,即立方体半形(hemicube)(不应叫其“半立方体”,因为其易与‘demicube’混淆)。
正方体的对偶多面体是正八面体,如果原正方体棱长为1,则对偶正八面体棱长为√2。
正方体是一种最特殊的四边形正六面体:
名称 | 棱长相等? | 对角相等? | 各角为直角? |
---|---|---|---|
立方体 | 是 | 是 | 是 |
菱面体 | 是 | 是 | 否 |
长方体 | 否 | 是 | 是 |
平行六面体 | 否 | 是 | 否 |
四边形正六面体 | 否 | 否 | 否 |
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组,每一组都构成一个完整的正四面体,更严格地说,这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起,就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体(Stella Octagula)。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着,正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群,对应着能将半立方体变换到自身的对称变换,立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥,各占立方体体积的1/6。
从立方体各棱中点处切掉立方体的角,我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面,而切掉的顶点处出现了新的正三角形面,这样的操作叫“截半”(rectification),得到的半正多面体叫截半立方体(rectified cube),又叫立方八面体(cuboctahedron)。如果我们不在棱中点处截它,则这种操作叫“截角”(truncation),正方形面变成了八边形。如果截的合适,则我们可将正方形截成正八边形,得到的半正多面体叫截顶立方体(truncated cube)。如果我们同时截掉立方体的棱和顶,则这种操作叫“截棱”(centellation),如果截的恰当,得到的半正多面体是小斜方截半立方体(rhombicuboctahedron)。
正十二面体有20个顶点,它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组,这8个顶点两两相连,构成内接在正十二面体内部的立方体,它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起,构成复合多面体——五复合立方体。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Rhombihedron-in-dodecahedron.png/220px-Rhombihedron-in-dodecahedron.png)
如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点,我们会得到一个非正的八面体,将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上,则我们得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体(如正八面体和立方八面体)构成正八面体家族:
对称性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
{4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
半正多面体的对偶 | |||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
此外,立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关:
多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() {2,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {5,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {6,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {7,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {8,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
... | ![]() {∞,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关:
多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() {4,2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
... | ![]() {4,∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
立方体是正四棱柱:
对称群 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[2n,2] [n,2] [2n,2+] |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
图像 | ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
球面多面体 | ||||||||||
图像 | ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
类别 | 柏拉图立体 | 卡塔兰立体 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
种子 | ![]() {3,3} |
![]() {4,3} |
![]() {3,4} |
![]() {5,3} |
![]() {3,5} |
![]() aC |
![]() aD |
倒角 | ![]() cT |
![]() cC |
![]() cO |
![]() cD |
![]() cI |
![]() caC |
![]() caD |
应用
[编辑]- 日常生活
- 游戏
- 视错觉
- 数论
数学问题
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Hexahedron_flat.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Hex_cross_section.png/150px-Hex_cross_section.png)
参见尺规作图,已经证明此题无法用无刻度的直尺与圆规去画出的位置
最大的横切面
[编辑]立方体的横切面只有四种:
其中以正六边形的面积最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为。
参见
[编辑]外部链接
[编辑]- 埃里克·韦斯坦因, 立方体 (参阅柏拉图立体) 于MathWorld(英文)
- 折纸立方体 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 埃里克·韦斯坦因. 立方體. MathWorld. (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Mathematische Basteleien (页面存档备份,存于互联网档案馆)
|
|
|
|
|
|
|