立方體
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![]() (按這裏觀看旋轉模型) | |||
類別 | 柏拉圖立體 正多面體 | ||
---|---|---|---|
對偶多面體 | 正八面體![]() | ||
識別 | |||
名稱 | 正六面體 | ||
參考索引 | U06, C18, W3 | ||
鮑爾斯縮寫 | cube![]() | ||
數學表示法 | |||
施萊夫利符號 | {4,3}![]() | ||
威佐夫符號 | 3 | 2 4 | ||
康威表示法 | C![]() | ||
性質 | |||
面 | 6 | ||
邊 | 12 | ||
頂點 | 8 | ||
歐拉特徵數 | F=6, E=12, V=8 (χ=2) | ||
二面角 | 90° | ||
組成與佈局 | |||
面的種類 | 正方形 | ||
面的佈局 | 6個{4} | ||
頂點圖 | 4.4.4 | ||
對稱性 | |||
對稱群 | Oh | ||
特性 | |||
正凸環帶多面體 | |||
圖像 | |||
| |||
在幾何學中,立方體,是由6個正方形面組成的正多面體,故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜(邊)和8個頂點,是五個柏拉圖立體之一。
立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性,即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符號{4,3},考克斯特-迪肯符號,其對偶多面體為正八面體。
性質
[編輯]面的組成:正方形
面的數目:6
邊的數目:12
頂點數目:8
表面積:
體積:
二面角角度:
外接球半徑:
內接球半徑:
對偶多面體:正八面體
在所有表面積一定的長方體中,立方體的體積最大,同樣,在所有線性大小(長寬高之和)一定的長方體中,立方體的體積也是最大的。反過來,體積相等的長方體中,立方體擁有最小表面積和線性大小。
頂點坐標及表面方程
[編輯]在三維直角坐標系中,對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為2的立方體,其頂點坐標為 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有滿足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的點(x,y,z)。
在R3中,以點(x0,y0,z0)為中心的立方體表面是點(x,y,z)的運動軌跡,其中x,y,z滿足:
幾何性質
[編輯]立方體有11種不同的展開圖,即是說,我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而將其展平為平面圖形,見右圖。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Planificacao_cubo.gif/220px-Planificacao_cubo.gif)
如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色,則我們至少需要3種顏色(類似於四色問題)。
立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體,因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌(三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體)。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的,因此,它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體(它所有相對的面關於立方體中心中心對稱)。
將立方體沿對角線切開,能得到6個全等的正4稜柱(但它不是半正的,底面棱長與側棱長之比為2:√3)將其正方形面貼到原來的立方體上,能得到菱形十二面體(兩兩共面三角形合成一個菱形)。
正交投影
[編輯]我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上,這些投影都各自攜帶有立方體原本BC3對稱性的一部分。
正對於 | 正方形面 | 頂點 |
---|---|---|
考克斯特群 | B2![]() |
A2![]() |
投影 對稱性 |
[4] | [6] |
傾斜視角 | ![]() |
![]() |
半正對稱性與表面塗色
[編輯]作為正多面體之一,立方體擁有較高的對稱性,它的所有面在幾何上都是相同的,不可區分的。可是我們也可以想像將立方體的面「塗上」不同的「顏色」,使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」,使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性,即正八面體對稱性Oh中,立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性D4h則將立方體描述得像一個正四稜柱,有兩個顏色相同的上下底面,其餘4個側面顏色相同。立方體最低的對稱性D2h也將立方體描述的像一個稜柱,不過是長方形稜柱,即一個長方體,它的相對的面顏色相同,而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號、考克斯特-迪肯符號和Wythoff符號。此外,由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱,立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶,即正三偏方面體。
名稱 | 正六面體 | 正四稜柱 | 長方體 | 正三偏方面體 |
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考克斯特符號 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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施萊夫利符號 | {4,3} | {4}×{} | {}×{}×{} | |
Wythoff符號 | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |
對稱性 | Oh (*432) |
D4h (*422) |
D2h (*222) |
D3d (2*3) |
對稱群階 | 24 | 16 | 8 | 12 |
圖像 (半正表面塗色) |
![]() (111) |
![]() (112) |
![]() (123) |
![]() (111), (112), (122), 及(222) |
相關多面體及鑲嵌
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Tetraeder-Animation.gif)
- 將立方體的其中四個頂點相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的,其體積為立方體體積的。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Octahedron_in_Cube.png/150px-Octahedron_in_Cube.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Cube_in_Octahedron.png/150px-Cube_in_Octahedron.png)
當正八面體在立方體之內:
正八面體體積 : 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6
- 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
- 截半立方體:從一條棱斬去另一條棱的中點得出
- 截角立方體
- 超正方體:立方體在高維度的推廣。更加一般的,立方體是一個大家族,即立方形家族(又稱超方形、正測形)的3維成員,它們都具有相似的性質(如二面角都是90°、有類似的超體積公式,即Vn-cube=an等)。
- 長方體、偏方面體的特例。
將立方體對映映射後的到的商形成的一個實射影多面體,即立方體半形(hemicube)(不應叫其「半立方體」,因為其易與『demicube’混淆)。
正方體的對偶多面體是正八面體,如果原正方體棱長為1,則對偶正八面體棱長為√2。
正方體是一種最特殊的四邊形正六面體:
名稱 | 棱長相等? | 對角相等? | 各角為直角? |
---|---|---|---|
立方體 | 是 | 是 | 是 |
菱面體 | 是 | 是 | 否 |
長方體 | 否 | 是 | 是 |
平行六面體 | 否 | 是 | 否 |
四邊形正六面體 | 否 | 否 | 否 |
立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組,每一組都構成一個完整的正四面體,更嚴格地說,這是作為半(Demi-)立方體的正四面體。這兩個正四面體組合到一起,就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體(Stella Octagula)。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味着,正四面體的對稱群A3是正方體對稱群的子群,對應着能將半立方體轉換到自身的對稱轉換,立方體其餘的對稱轉換能將兩個半立方體轉換到對方。一個這樣的正四面體佔據了立方體體積的1/3,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐,各占立方體體積的1/6。
從立方體各棱中點處切掉立方體的角,我們會發現原先立方體的正方形面變成了其對偶的正方形面,而切掉的頂點處出現了新的正三角形面,這樣的操作叫「截半」(rectification),得到的半正多面體叫截半立方體(rectified cube),又叫立方八面體(cuboctahedron)。如果我們不在棱中點處截它,則這種操作叫「截角」(truncation),正方形面變成了八邊形。如果截的合適,則我們可將正方形截成正八邊形,得到的半正多面體叫截頂立方體(truncated cube)。如果我們同時截掉立方體的棱和頂,則這種操作叫「截棱」(centellation),如果截的恰當,得到的半正多面體是小斜方截半立方體(rhombicuboctahedron)。
正十二面體有20個頂點,它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組,這8個頂點兩兩相連,構成內接在正十二面體內部的立方體,它的棱都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起,構成複合多面體——五複合立方體。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Rhombihedron-in-dodecahedron.png/220px-Rhombihedron-in-dodecahedron.png)
如果我們完全切掉立方體相對的兩個頂點,我們會得到一個非正的八面體,將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上,則我們得到截半立方體。
立方體與所有其它擁有BC3對稱性的多面體(如正八面體和立方八面體)構成正八面體家族:
對稱性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
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{4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
半正多面體的對偶 | |||||||||
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V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
此外,立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關:
多面體 | 歐式鑲嵌 | 雙曲鑲嵌 | ||||||
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![]() {2,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {5,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {6,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {7,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {8,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
... | ![]() {∞,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關:
多面體 | 歐式鑲嵌 | 雙曲鑲嵌 | ||||||
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![]() {4,2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() {4,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
... | ![]() {4,∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
立方體是正四稜柱:
對稱群 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
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[2n,2] [n,2] [2n,2+] |
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圖像 | ![]() |
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球面多面體 | ||||||||||
圖像 | ![]() |
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類別 | 柏拉圖立體 | 卡塔蘭立體 | |||||
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種子 | ![]() {3,3} |
![]() {4,3} |
![]() {3,4} |
![]() {5,3} |
![]() {3,5} |
![]() aC |
![]() aD |
倒角 | ![]() cT |
![]() cC |
![]() cO |
![]() cD |
![]() cI |
![]() caC |
![]() caD |
應用
[編輯]- 日常生活
- 遊戲
- 視錯覺
- 數論
數學問題
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Hexahedron_flat.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Hex_cross_section.png/150px-Hex_cross_section.png)
參見尺規作圖,已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出的位置
最大的橫切面
[編輯]立方體的橫切面只有四種:
其中以正六邊形的面積最大,若立方體的棱長為a,則正六邊形的面積為。
參見
[編輯]外部連結
[編輯]- 埃里克·韋斯坦因, 立方體 (參閱柏拉圖立體) 於MathWorld(英文)
- 摺紙立方體 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- 埃里克·韋斯坦因. 立方體. MathWorld. (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- Mathematische Basteleien (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
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