高斯公式(Gauss's law),又称为高斯通量理论(Gauss' flux theorem)、散度定理(Divergence Theorem)、高斯散度定理(Gauss's Divergence Theorem)[1]、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式或高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过闭合曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理(Stokes' Theorem)是向量中两大重要定理[2]。
更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出這区域的淨流量。
高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学和流体力学。
在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。然而,它可以推广到任意维数。在一维,它等价于分部积分法。
区域V,以带有法线n的面S = ∂V为边界。
散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量,例如,任何左邊的曲面;散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面,例如,任何右邊的曲面。在這圖內,曲面以藍色顯示,邊界以紅色顯示。
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域,函数
在
上具有一阶连续偏导数,则有[3]
![{\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3059a350d99d27c7eb03cbbda0bf8f0332f4aea5)
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5b381f6640ccb0f35cac475885800035f066d5)
![{\displaystyle P\,\mathrm {d} y\land \mathrm {d} z+Q\,\mathrm {d} z\land \mathrm {d} x+R\,\mathrm {d} x\land \mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb6c6f2f8ea346b72e159930a88c252d5383df5)
或
![{\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3059a350d99d27c7eb03cbbda0bf8f0332f4aea5)
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5b381f6640ccb0f35cac475885800035f066d5)
![{\displaystyle (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,\mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df468ccfb5e81a0c6d3997c6c9f2c681c7d3622)
这里
是
的边界(boundary),
是
在点
处的單位法向量的方向余弦。
这两个公式都叫做高斯公式,不過這兩公式僅僅是表達方式不同,其實是相同的定理,這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於
,其中
是曲面
的向外單位法向量。
这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。
用散度表示[编辑]
高斯公式用散度表示为:[4]
![{\displaystyle \iiint _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b434e1cb857ca620f2a30516184a87a076477e1)
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5b381f6640ccb0f35cac475885800035f066d5)
![{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b940e5719e9c3e2bda6cfe2b38a1fd0972bbfdae)
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面,而
是曲面Σ上的朝外的單位法向量。
用向量表示[编辑]
令V代表有一简单闭曲面S为边界的体积,
是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果
是外法向向量面元,则
![{\displaystyle \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b073897f76a467b4d8353675e20ff7c3b679e925)
![{\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0920b1f13cd1514d1805b5d8b0ac68861f2f7c)
- 对于两个向量场
的向量积,应用高斯公式可得:
![{\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12edf12d8012660d2428e70b03a1129c776711c)
- 对于标量函数f和非零常向量的积,应用高斯公式可得:
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}f\,\mathrm {d} \mathbf {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7760985b4d54aba1ea16eacf5b8d895d2ae10eec)
- 对于向量场F和非零常向量的向量积,应用高斯公式可得:
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5e8d76a1d597cae29b0d7845bdaad788b7342)
例子所对应的向量场。注意,向量可能指向球面的内侧或者外侧。
假设我们想要计算
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e91bf22a258bad807b5a9ae8068ef38202ca30)
![{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2ee7324a804a4fde749c850d5e04dcbaf16391)
其中S是一个单位球面,定义为
![{\displaystyle S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7c7260bffd02568fccb486aa3f630b1eaa70f3)
F是向量场
![{\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d44109eb5505781b6373e8716fe72dbcfa5471)
直接计算这个积分是相当困难的,但我们可以用高斯公式来把它简化:
![{\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf77656db30e5d1d8ba026e0f3ddf7346be99804)
其中W是单位球:
![{\displaystyle W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3b63155965b5dcee2d2afb409bce82813acbd6)
由于函数y和z是奇函数,我们有:
![{\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5b52b01513b5cfdd251137345a3626bcf97876)
因此:
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e91bf22a258bad807b5a9ae8068ef38202ca30)
![{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfb3dcb4966f66e14d2a591da66e82c7160e8ef)
因为单位球W的体积是4π/3.
二阶张量的高斯公式[编辑]
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整,首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量(详见并矢张量或张量积)以及相关的概念和记号。在这里,向量和向量场用黑斜体字母表示,张量用正黑体字母表示。
- 两个向量
和
并排放在一起所形成的量
被称为向量
和
的并矢或并矢张量。要注意,一般来说,
。
的充分必要条件是
或
。
- 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
分别线性地依赖于
和
。
- 二阶张量
和向量
的縮併
以及
对
和
都是线性的。
- 特别是,当
时,
![{\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2c4ab86408ae83089f8108991714be9589733c)
所以,一般说来,
。
下面举一个例子:用二阶张量及其与向量的縮併来重新写
和
。
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e07d6b661577214b9f12c2eeeba2e1017f4c98e)
我们还用到二阶张量
的转置
(又可以记为
),定义如下:
仍然是一个二阶张量,并且线性地依赖于
。
。
定理:设
是三维欧几里得空间中的一个有限区域,
是它的边界曲面,
是
的外法线方向上的单位向量,
是定义在
的某个开邻域上的
连续的二阶张量场,
是
的转置,则
![{\displaystyle \iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} V\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382b7f1e6bc21fabf20df0b342c172966a9907aa)
证明:下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为
,则
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735dda490ece7d7de84e57fc114dd061bdba59d4)
接下来利用向量场的高斯公式,可得
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976e3338a0e83ad7c939775627d1d195d81360d5)
于是
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178afa139282520e6441728694e8190507d55179)
至此证毕。
参考文献[编辑]
- ^ UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details (页面存档备份,存于互联网档案馆).The Indian Express.September 22, 2019.
- ^ 提要251:第一个重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem) (页面存档备份,存于互联网档案馆).中华大学.2011-12-22.
- ^ 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
- ^ 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005