全微分

在微積分中，函數 $f$ 在某一點的全微分（英語：total derivative）是指該函數在該點附近關於其自變量的最佳線性近似。與偏微分不同，全微分反映了函數關於其所有自變量的線性近似，而非單個自變量。

全微分可以看成是把單變數函數的微分推廣到多變數函數上：單變量函數的全微分與其微分相同；而多變數函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。例如，對於二元函數 $\textstyle f(x,y)$ ，設 $f$ 在點 $(x_{0},y_{0})$ 的某個鄰域內有定義， $\scriptstyle (x_{0}+\Delta x,\ y_{0}+\Delta y)$ 為該鄰域內的任意一點，則該函數在點 $(x_{0},\ y_{0})$ 的變化量 $\scriptstyle \Delta f=f(x_{0}+\Delta x,\ y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},\ y_{0})$ 可表示為

\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )

，

其中 $A$ ， $B$ 皆為常數且僅與點 $(x_{0},y_{0})$ 有關，而與 $\Delta x$ ， $\Delta y$ 無關， $\scriptstyle \rho ={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$ 。若 $o(\rho )$ 是當 $\rho \rightarrow 0$ 時的高階無窮小，則稱此函數 $f$ 在點 $(x_{0},y_{0})$ 可微分，而矩陣(或向量) $(A,B)$ 即為函數 $f$ 在 $(x_{0},\ y_{0})$ 的全微分也簡稱微分，記作

Df|_{(x_{0},y_{0})}=(A,B)

或 $f'(x_{0},y_{0})=(A,B)$ 。

存在條件[編輯]

全微分繼承了部分一元函數實函數（定義域和值域為實數的函數）的微分所具有的性質，但兩者間也存在差異。從全微分的定義出發，可以得出有關全微分存在條件的多個定理。

充分條件[編輯]

一個多元函數在某點的全微分存在的充分條件是：此函數在該點某鄰域內的各個偏導數存在且偏導函數在該點都連續，則此函數在該點可微。

對於二元函數，此定理可表述為：若二元函數 $z=f(x,\ y)$ 在點 $(x_{0},\ y_{0})$ 的某鄰域內的偏導數 $f_{x}(x_{0},\ y_{0})$ 與 $f_{y}(x_{0},\ y_{0})$ 存在，且偏導函數 $f_{x}(x,\ y)$ 與 $f_{y}(x,\ y)$ 在點 $(x_{0},\ y_{0})$ 都連續，則此函數在點 $(x_{0},\ y_{0})$ 可微。需要注意的是，此條件並非充要條件，存在偏導函數不連續但是多元函數可全微分的情況。如果不滿足這個充分條件，那麼一個多元函數能否全微分則必須由定義加以證明，即驗證 $\lim _{\rho \to 0}{\frac {\Delta z-[f_{x}(x_{0},\ y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},\ y_{0})\Delta y]}{\rho }}=0$ 是否成立。