積分

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函數  f(x) 的定積分是函數與x軸圍成的曲邊梯形的有向面積:在x軸上方(藍色)的面積為正,下方(黃色)的面積為負。
微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

積分微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為Template:定積分

微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

微積分中,一個函數 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
不定積分,也稱為原函數反導數,是一個導數等於 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
的函數 \begin{smallmatrix} F \end{smallmatrix}
,即 \begin{smallmatrix} F' = f \end{smallmatrix}
。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。

\begin{matrix} \int f(x)dx = F(x)+c\end{matrix}

其中 \begin{smallmatrix} F \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
的不定積分。這樣,許多函數的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。

例子[編輯]

函數 \begin{smallmatrix} K(x)=\frac{2^x}{\ln2} \end{smallmatrix}
是函數 \begin{smallmatrix} k(x)=2^x\! \end{smallmatrix}
的一個原函數,但實際上 \begin{smallmatrix} k\! \end{smallmatrix}
的原函數有無窮多個。與 \begin{smallmatrix} K\! \end{smallmatrix}
相差一個常數的函數都是 \begin{smallmatrix} k\! \end{smallmatrix}
的原函數,因為常數函數的導數為零,例如: \begin{smallmatrix} \frac{2^x}{\ln2}+\ln2,\ \frac{2^x}{\ln2}-e^\sqrt{\pi} \end{smallmatrix}
。函數族 \begin{smallmatrix} \left\{\frac{2^x}{\ln2}+C\;| \;C\in\mathbb{R} \right\} \end{smallmatrix}
稱為函數 \begin{smallmatrix} k\! \end{smallmatrix}
原函數族,也就是 \begin{smallmatrix} k(x)=2^x\! \end{smallmatrix}
的所有可能的原函數的集合,其中 \begin{smallmatrix} C\! \end{smallmatrix}
叫做積分常數。從圖像上來看,這是 \begin{smallmatrix} K(x)=\frac{2^x}{\ln2}\! \end{smallmatrix}
垂直平移後得到的一組函數,幾何上的解釋就是它們在 \begin{smallmatrix} x\! \end{smallmatrix}
軸同一點上的斜率都是一樣的。

性質[編輯]

微積分基本定理[編輯]

不定積分的一個重要應用是計算定積分,微積分基本定理建立了兩者間的關係。

微積分基本定理:如果 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
是閉區間 \begin{smallmatrix} [a,b] \end{smallmatrix}
上的連續函數, \begin{smallmatrix} F \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} [a,b] \end{smallmatrix}
上的一個原函數,那麼

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

證明:取區間 \begin{smallmatrix} [a,b] \end{smallmatrix}
的一個分割: \begin{smallmatrix} a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \end{smallmatrix}
,又設 \begin{smallmatrix} \Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i} \end{smallmatrix}
,根據拉格朗日中值定理

\begin{matrix}F(x_{i+1}) - F(x_{i}) = F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i}\end{matrix}

所以


\begin{align}
F(b)-F(a) & = \sum_{i=0}^{n-1} (F(x_{i+1}) - F(x_{i})) \\
 & = \sum_{i=0}^{n-1} F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \\
 & = \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \\
\end{align}

\begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
在閉區間 \begin{smallmatrix} [a,b] \end{smallmatrix}
上連續,故黎曼可積,於是

\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

於是:

\begin{matrix} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).\end{matrix}

因此, \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
原函數族中的每個函數都可以叫做 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix}
的不定積分,簡寫作 \begin{smallmatrix} \int f(x)\, \mathrm{d}x. \end{smallmatrix}
,因為在計算定積分時,積分常數在相減時消掉了。如果 \begin{smallmatrix} F \end{smallmatrix}
定義在幾個不同的區間上,那麼每個區間上的積分常數可以互不相同。例如

\begin{matrix}F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+C_1\qquad x<0\\-\frac{1}{x}+C_2\qquad x>0\end{cases}\end{matrix}

就是 \begin{smallmatrix} f(x)=\frac{1}{x^2} \end{smallmatrix}
的不定積分的一般形式。它的定義區間是 \begin{smallmatrix} (-\infty,0)\cup(0,\infty) \end{smallmatrix}

積分上限函數[編輯]

什麼樣的函數具有原函數是微積分理論中的基本問題。首先,每個連續函數都有原函數,並且由上面可知,原函數的個數是無限個。其次,對於一個有原函數的函數,它的原函數族中在某點取某個特殊值的只有一個。特別來說,對某個點af恰有一個在a上取值為零的原函數,它可以表示為如下的積分上限函數

F(x)=\int^x_af(t)\,\mathrm{d}t

下面給出積分上限函數是原函數的證明:

設函數\Phi(x)=\int^x_af(t)\,\mathrm{d}t,下證:

\Phi^\prime(x)=\cfrac{\mathrm{d}\int^x_af(t)\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=f(x)

證明:

\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_a^{x+ \Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_a^{x} f(t)\,\mathrm{d}t
=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t
=f(\xi)\cdot\Delta x,其中x<\xi<x+\Delta x\ ,當\Delta x\to0時,\xi趨向於x
所以有\Phi^\prime(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}f(\xi)=f(x)

由此可以推出前面的結論:f的原函數中在點a上取值為A的只有一個,就是x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t + A

這也可以看作是微積分基本定理另一個表達形式。

不連續的函數也可以有原函數,例如考慮函數f\

x\ne0f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\displaystyle f(0)=0

這個函數在0上不連續,但可以驗證函數:F(x)=x^2\sin\frac{1}{x}x\ne0時),\displaystyle F(0)=0 f的原函數。

許多看似很「簡單」的函數的原函數是無法用初等函數指數函數對數函數代數函數三角函數反三角函數以及它們的有限次加減乘除開根號組合)來表達的(但它們一樣存在!),比如說如下幾個不定積分:

\begin{matrix}\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x,\qquad \int \frac{\sin (x)}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}x\end{matrix}

它們的積分分別為:

\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf}(x) + C
\int \frac{\sin (x)}{x}\,\mathrm{d}x = \operatorname{Si}(x) + C
\int\frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}x = \operatorname{Li}(x) + C

其中erf函數為誤差函數

Si函數為三角積分

Li函數為對數積分

關於什麼時候原函數可以用初等函數表達, 參見劉維爾定理.

積分技巧[編輯]

求初等函數的不定積分比求它們的導數要困難得多。如上面所看到的,有些初等函數的原函數無法用初等函數來表達。以下是求不定積分的一些技巧。

  • 積分的線性性質使得我們可以把較為複雜的函數分成幾個較為簡單的函數的和來計算
  • 換元積分法可以把被積函數轉換成比較容易積分的形式,但對換元函數有一定要求。
  • 分部積分法,用於函數乘積的積分。
  • 對於實值分式函數的積分,可以先將函數展開成若干一次分式函數以及二次分式函數的冪的和,再進行積分。
  • Risch演算法
  • 對於常見的不定積分,可以查看積分表
  • 當函數的不定積分不能用初等函數表達時,可以採用其他辦法計算函數的定積分,比如數值積分

不連續函數的積分[編輯]

微積分基本定理要求f為連續函數,但是,對於不連續的函數,我們仍然可以考慮求不定積分。對於什麼函數有原函數,現在仍存在著未解決的問題。如今已知的結論有:

  • 一些很不「規則」的函數,儘管在「非常多」的點上並不連續,但仍有原函數。
  • 在某些情況下,一些不「規則」的函數的不定積分可以通過黎曼積分求得。當然更多的不「規則」的函數不是黎曼可積的。

不定積分公式表[編輯]

  1. \begin{matrix} \int a\,\mathrm{d}x = ax + C\end{matrix} ,其 C\, 為常數;
  2. \begin{matrix} \int x^{a}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\end{matrix} ,其 a\,是常數 a \ne -1;
  3. \begin{matrix} \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln \left|x\right| + C\end{matrix} ;
  4. \begin{matrix} \int a^{x}\,\mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C\end{matrix} ,其  a > 0 \,a \ne 1;
  5. \begin{matrix} \int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C\end{matrix};
  6. \begin{matrix} \int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C\end{matrix} ;
  7. \begin{matrix} \int \tan x\,\mathrm{d}x = -\ln \left|\cos x\right| + C\end{matrix}
  8. \begin{matrix} \int \cot x\,\mathrm{d}x = \ln \left|\sin x\right| + C\end{matrix}
  9. \begin{matrix} \int \sec x\,\mathrm{d}x = {\rm Re} {\rm{Arth}} \tan \frac{x}{2} + C = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| + C \end{matrix}
  10. \begin{matrix} \int \csc x\,\mathrm{d}x = {\rm Re} {\rm{Ln}}\tan \frac{x}{2} + C = \ln \left|\csc x - \cot x\right| + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \end{matrix}
  11. \begin{matrix} \int \sec^{2}x\,\mathrm{d}x = \tan x + C\end{matrix} ;
  12. \begin{matrix} \int \csc^{2}x\,\mathrm{d}x = -\cot x + C\end{matrix} ;
  13. \begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin x + C\end{matrix} ;
  14. \begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin \frac{x}{a} + C\end{matrix} ;
  15. \begin{matrix} \int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \arctan x + C\end{matrix} ;
  16. \begin{matrix} \int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C\end{matrix} ;
  17. \begin{matrix} \int \operatorname{sinh}\,x\,\mathrm{d}x = \operatorname{cosh}\,x\,+ C\end{matrix} ;
  18. \begin{matrix} \int \operatorname{cosh}\,x\,\mathrm{d}x = \operatorname{sinh}\,x\,+ C\end{matrix} ;
  19. \begin{matrix} \int \frac 1{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x = \operatorname{ln}(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C\end{matrix} ;
  20. \begin{matrix} \int \frac 1{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x = \operatorname{ln}|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C\end{matrix} ;

參見[編輯]

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

可以理解為在 \scriptstyle  Oxy坐標平面上,由曲線 (x,f(x))、直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形面積值(一種確定的實數值)。

f不定積分(或稱原函數)是任何滿足其導函數是函數 f函數F。一個函數f的不定積分不是唯一的:只要 F f的不定積分,那麼與之相差一個常數的函數 F + C  也是f的不定積分。本條目中主要介紹定積分,不定積分的介紹參見不定積分條目。

積分的基本原理:微積分基本定理,由艾薩克·牛頓戈特弗里德·威廉·萊布尼茨在十七世紀分別獨自確立。微積分基本定理微分和積分聯繫在一起,這樣,通過找出一個函數的原函數,就可以方便地計算它在一個區間上的積分。積分和導數已成為高等數學中最基本的工具,並在自然科學和工程學中得到廣泛運用。

積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出,稱為「黎曼積分」。黎曼的定義運用了極限的概念,把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起,更高級的積分定義逐漸出現,有了對各種積分域上的各種類型的函數的積分。比如說,路徑積分是多元函數的積分,積分的區間不再是一條線段(區間[a,b]),而是一條平面上或空間中的曲線段;在面積積分中,曲線被三維空間中的一個曲面代替。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。

對積分概念的推廣來自於物理學的需要,並體現在許多重要的物理定律中,尤其是電動力學。現代的積分概念基於測度論,主要是由昂利·勒貝格建立的勒貝格積分

簡介[編輯]

函數f在區間[0,1]上積分的近似  極大值(5部分)和 極小值(12部分)

積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中,有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量,但隨著科技的發展,很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積,可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長 × 寬 × 高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀,就需要用積分來求出容積。物理學中,常常需要知道一個物理量(比如位移)對另一個物理量(比如)的累積效果,這時也需要用到積分。

我們以下面這個問題作為介紹積分概念的開始:

考慮平方根函數f : \, x \mapsto \sqrt{x},其中x \in [0, \, 1] 。在區間[0,1]上,函數f「下方」的面積是多少?

問題中的「下方」面積,是指函數y = f(x)的圖象與x軸之間的部分的面積S(見右圖)。我們把這個面積稱為函數f在區間[0,1]上的積分,寫作:

S = \int_0^1 \sqrt{x} \, \mathrm{d}x \,\!.

其中的\mathrm{d}x稱為積分變數,表示要求面積的範圍是用坐標軸橫軸的刻度計算; \int_0^1則表示從0開始算起,到1為止,稱為積分範圍積分域,其中0稱為積分下限,1稱為積分上限\int叫做積分號,是從拉長的字母S(拉丁文中的summa (ſumma):求和的首字母)演變過來的。函數 \sqrt{x}寫在中間,稱為被積函數

由於函數下方的形狀並不是多邊形或圓形這樣的規則圖形,並沒有簡單的公式來求出面積S。最初計算積分的數學家們採取的方法是估算出S的取值可能會在的範圍,然後不斷縮小範圍,最後求得精確的數值。首先,S一定小於整個方框的面積,也就是1。然而這樣的估計太過粗略了,因為方框左邊明顯要比函數圖像要高。

改進的方法是用更多的小方框來將函數圖象「覆蓋」,如右圖中的做法,就是將坐標軸橫軸[0,1]等分成5個部分:[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1],然後每一部分上放一個黃色的長方形(見右圖)。這5個長方形的高度分別是函數在每個部分的極大值(也就是最右側的值):\sqrt{0.2}\sqrt{0.4}\sqrt{0.6}\sqrt{0.8}1。這樣函數下方的部分就被5個黃色長方形覆蓋了,所以面積S小於5個黃色長方形面積之和:

\sqrt {0.2} \left (0.2 - 0 \right ) +   \sqrt {0.4} \left (0.4 - 0.2 \right )  +    \sqrt {0.6} \left (0.6 - 0.4 \right )  +  \sqrt {0.8} \left (0.8 - 0.6 \right ) + \sqrt {1} \left (1 - 0.8 \right ) \approx 0.7497.\,\!

求出了S的上限之後,用類似的方法可以求S的下限。同樣是將坐標軸等分成若干部分,然後在每個部分放上長方形,不過這時候長方形的高度需要是函數在這個部分的最小值,也就是最左側的值。比如,如果將橫軸等分成12個部分,然後按照以上的方法放上綠色長方形(如右圖),那麼從圖中可以看出,S必定大於綠色長方形面積之和:

\sqrt {\frac{0}{12}} \left ( \frac{1}{12} - 0 \right ) + \sqrt {\frac{1}{12}} \left ( \frac{2}{12} -  \frac{1}{12} \right ) +    \cdots +  \sqrt {\frac{11}{12}} \left (1 -  \frac{11}{12} \right ) \approx 0.6203.\,\!

於是,面積S的取值介於0.6203和0.7497之間。要取得更加精確的估計,可以將橫軸細分成更多的部分,並按照同樣的方法放置長方形,計算長方形的面積之和。隨著長方形越來越多,每個長方形越來越「細」,計算出的S的範圍會越來越窄,最後得出S的精確值。

以上的方法可能出現的「漏洞」,是所謂的「取值範圍」不一定會越來越小,最後聚集到同一個值上。雖然直觀上來說,由於函數下方的圖形面積是確定的,只要不斷地用相似的形狀「逼近」,最後總會趨向函數下方圖形的真實面積。然而,對於某些「病態」的函數,以上的方法是無法得到確定的數值的。十九世紀的數學家波恩哈德·黎曼證明了,對於滿足某些條件的「好函數」,以上的方法一定能求出函數下方的面積。現代的數學家將這種方法求出的面積稱為黎曼積分,並給出了嚴格的定義(見#嚴格定義一節)。對於那些無法用黎曼的方法定義「函數下方圖形面積」的函數,黎曼之後的數學家發展出了一些更寬泛的定義,讓這些函數也能定義積分。

術語和表記[編輯]

如果一個函數的積分存在,並且有限,就說這個函數是可積的。一般來說,被積函數不一定只有一個變數,積分域也可以是不同維度的空間,甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。如同上面介紹的,對於只有一個變數 x的實值函數 ff在閉區間 [a,b]上的積分記作

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x .

其中的\mathrm{d}x除了表示xf 中要進行積分的那個變數(積分變數)之外,還可以表示不同的含義。在黎曼積分中,\mathrm{d}x表示分割區間的標記;在勒貝格積分中,表示一個測度;或僅僅表示一個獨立的量(微分形式)。一般的區間或者積分範圍J  J上的積分可以記作\int_J f(x)\, \mathrm{d}x .

如果變數不只一個,比如說在二重積分中,函數f(x,y)\,\! 在區域D上的積分記作

\iint_{D} f(x,y)\,\!\, \mathrm{d}\sigma 或者 \iint_{D} f(x,y)\,\!\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y

其中 \mathrm{d}\sigma 與區域D對應,是相應積分域中的微分元

嚴格定義[編輯]

定義積分的方法不止一種,各種定義之間也不是完全等價的。其中的差別主要是在定義某些特殊的函數:在某些積分的定義下這些函數不可積分,但在另一些定義之下它們的積分存在。然而有時也會因為教學的原因造成定義上的差別。最常見的積分定義是黎曼積分勒貝格積分

黎曼積分[編輯]

在閉區間上取定一個(不規則的)取樣分割後獲得的黎曼和

黎曼積分得名於德國數學家波恩哈德·黎曼,建立在函數在區間取樣分割後的黎曼和之上。設有閉區間[a,b],那麼[a,b]的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b。每個閉區間[x_i, x_{i+1}]叫做一個子區間。定義\lambda 為這些子區間長度的最大值:\lambda = \max (x_{i+1}-x_i),其中0 \le i \le n - 1 。而閉區間[a,b]上的一個取樣分割是指在進行分割a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b後,於每一個子區間中[x_i, x_{i+1}]取出一點 x_i \le t_i \le x_{i+1}

確定的子區間上不同的取樣方式構成的黎曼和: 右端值, 極小值,  極大值,  左端值。

對一個在閉區間[a,b]有定義的實值函數ff關於取樣分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1}黎曼和定義為以下和式:

\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)

和式中的每一項是子區間長度x_{i+1}-x_i與在t_i處的函數值f(t_i)的乘積。直觀地說,就是以標記點t_i到X軸的距離為高,以分割的子區間為長的矩形的面積。

最簡單的取樣分割方法是將區間均勻地分成若干個長度相等的子區間,然後在每個子區間上按相同的準則取得標記點。例如取每個子區間右端t_i =x_{i+1} (見左圖左上角)或者取每個子區間上函數的極大值對應的t_i(左圖左下角)等等。不同的取樣分割方式得到的黎曼和一般都不相同,而如果當\lambda 足夠小的時候,所有的黎曼和都趨於某個極限,那麼這個極限就叫做函數f在閉區間[a,b]上的黎曼積分。即,S是函數f在閉區間[a,b]上的黎曼積分,若且唯若對於任意的\epsilon > 0,都存在\delta > 0,使得對於任意的取樣分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1},只要它的子區間長度最大值\lambda \le \delta ,就有:

\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,

也就是說,對於一個函數f,如果在閉區間[a,b]上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函數f的黎曼和都會趨向於一個確定的值S,那麼f在閉區間[a,b]上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限S。這時候稱函數f黎曼可積的。將f在閉區間[a,b]上的黎曼積分記作:

\int_a^b f(x) \mathrm{d} x.

勒貝格積分[編輯]

勒貝格積分的出現源於機率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。因此,需要更為廣義上的積分概念,使得更多的函數能夠定義積分。同時,對於黎曼可積的函數,新積分的定義不應當與之衝突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。 黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念,勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。[1]:Intro.2-3

勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣,將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來儘可能鋪滿函數曲線下方的圖形,而每個矩形的面積是長乘寬,或者說是兩個區間之長度的乘積。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念,從而能夠「測量」更不規則的函數曲線下方圖形的面積,從而定義積分。在一維實空間中,一個區間 A = [a, b] 的勒貝格測度μ(A)是區間的右端值減去左端值, ba。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。在更複雜的情況下,積分的集合可以更加複雜,不再是區間,甚至不再是區間的交集或並集,其「長度」則由測度來給出。[1]:Intro.3

給定一個集合\Omega上的\sigma -代數\mathcal{F}以及\mathcal{F}上的一個測度\mu,那麼對於\mathcal{F}中的一個元素A \subset \Omega,定義指示函數1_{A}關於測度\mu的積分為:

黎曼積分(藍色)和勒貝格積分(紅色)
\int 1_A \,d\mu = \mu(A)

再定義可測的非負簡單函數f = \sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}(其中 A_i \in  \mathcal{F}, \, \, a_i \geqslant 0)的積分為:

 \int f \,d\mu = \int \left(\sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}\right) \,d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i\int 1_{A_i} \,d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i)
[1]:28

對於一般的函數f :  \Omega \rightarrow \mathbb{R} ,如果對每個區間(a, b],都滿足 f^{-1}\left( (a, b] \right) \in \mathcal{F},那麼測度論中定義f 是可測函數。對於一個非負的可測函數f ,它的積分定義為:

 \int f \,d\mu = \sup \bigg\{ g, \quad g為簡單函數,並且f - g恆大於零. \,\bigg\} [1]:30

這個積分可以用以下的方式逼近:

 \int f \,d\mu =  \lim_{n \to +\infty}\left[ \sum_{k = 0}^{n 2^n - 1} \frac{k}{2^n} \mu \left(\frac{k}{2^n} \leqslant f < \frac{k+1}{2^n} \right) + n\mu (f \geqslant n) \right]  =  \lim_{n \to +\infty}\left[ \frac{1}{2^n} \sum_{k = 0}^{n 2^n - 1} \mu \left(\frac{k}{2^n} \leqslant f \right) \right]  [2]:344

直觀上,這種逼近方式是將f的值域分割成等寬的區段,再考察每段的「長度」,用其測度表示,再乘以區段所在的高度。其覆蓋之處如右圖中的紅色區域所示。佛蘭德(Folland[3]總結說,「黎曼積分是把定義域區間[ab]劃分為子區間」,而勒貝格積分則是「劃分f的值域」。

至於一般的(有正有負的)可測函數f,它的積分是函數曲線在x軸上方「圍出」的面積,減去曲線在x軸下方「圍出」的面積。嚴格定義需要引進「正部函數」和「負部函數」的概念:

 f^+ :  如果f(x)\geqslant 0, f^+ (x) = f(x), 否則 f^+ (x) = 0.
 f^- :  如果f(x)\leqslant 0, f^- (x) = -f(x), 否則 f^- (x) = 0.

可以驗證,總有 f(x) = f^+ (x) - f^-(x).f的積分定義為: \int f \,d\mu =  \int  f^+  \,d\mu - \int f^- \,d\mu [1]:41-42[2]:345

以上定義有意義僅當\int  f^+  \,d\mu \int f^- \,d\mu中至少有一個的值是有限的(否則會出現無窮大減無窮大的情況),這時稱f的勒貝格積分存在積分有意義。如果\int  f^+  \,d\mu \int f^- \,d\mu都是有限的,那麼稱f可積[1]:42-45[2]:345

給定一個可測集合A,可以定義可積函數在A上的積分為:

\int_A  f  \,d\mu = \int f 1_{A}  \,d\mu .[2]:345

其他定義[編輯]

除了黎曼積分和勒貝格積分以外,還有若干不同的積分定義,適用於不同種類的函數。

性質[編輯]

通常意義上的積分都滿足一些基本的性質。以下的\mathcal{I}在黎曼積分意義上表示一個區間,在勒貝格積分意義下表示一個可測集合。

線性[編輯]

積分是線性的。如果一個函數f可積,那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函數fg可積,那麼它們的和與差也可積。

 \int_{\mathcal{I}} (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_ {\mathcal{I}}  f  + \beta \int_ {\mathcal{I}}  g \,

所有在\mathcal{I}上可積的函數構成了一個線性空間。黎曼積分的意義上,所有區間[a, b]上黎曼可積的函數fg都滿足:

 \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,

所有在可測集合\mathcal{I}上勒貝格可積的函數fg都滿足:

 \int_{\mathcal{I}} (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_{\mathcal{I}} f \, d\mu + \beta \int_{\mathcal{I}} g \, d\mu.

在積分區域上,積分有可加性。黎曼積分意義上,如果一個函數f在某區間上黎曼可積,那麼對於區間內的三個實數a, b, c,有

 \int_{a}^c f(x) \, dx =  \int_{a}^b f(x) \, dx  +\int_{b}^c f(x) \, dx \,

如果函數f在兩個不相交的可測集\mathcal{I}\mathcal{J}上勒貝格可積,那麼

 \int_{\mathcal{I}\cup  \mathcal{J} } f \, d\mu = \int_{\mathcal{I}} f \, d\mu + \int_{\mathcal{J}} f\, d\mu.

如果函數f勒貝格可積,那麼對任意\epsilon > 0,都存在\delta,使得\mathcal{F}中任意的元素A,只要\mu (A) < \delta,就有\int_{A} \left| f  \right| \, d\mu < \epsilon

保號性[編輯]

如果一個函數f在某個區間上黎曼可積,並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零,那麼它的勒貝格積分也大於等於零。作為推論,如果兩個\mathcal{I}上的可積函數fg相比, f(幾乎)總是小於等於g,那麼f的(勒貝格)積分也小於等於g的(勒貝格)積分。

如果黎曼可積的非負函數f\mathcal{I}上的積分等於0,那麼除了有限個點以外,f = 0。如果勒貝格可積的非負函數f\mathcal{I}上的積分等於0,那麼f幾乎處處為0。如果\mathcal{F}中元素A的測度\mu (A)等於0,那麼任何可積函數在A上的積分等於0。

函數的積分表示了函數在某個區域上的整體性質,改變函數某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函數,改變有限個點的取值,其積分不變。對於勒貝格可積的函數,某個測度為0的集合上的函數值改變,不會影響它的積分值。如果兩個函數幾乎處處相同,那麼它們的積分相同。如果對\mathcal{F}中任意元素A,可積函數fA上的積分總等於(大於等於)可積函數gA上的積分,那麼f幾乎處處等於(大於等於)g

介值性質[編輯]

如果f\mathcal{I}上可積, Mm分別是f\mathcal{I}上的最大值和最小值,那麼:

m L(\mathcal{I}) \leqslant \int_ {\mathcal{I}}  f  \leqslant  M L(\mathcal{I})

其中的 L(\mathcal{I}) 在黎曼積分中表示區間\mathcal{I}的長度,在勒貝格積分中表示\mathcal{I}的測度。

絕對連續性[編輯]

積分的絕對連續性表明,如果函數在某區間或集合上可積,那麼當積分區域是近乎全區域的時候,積分的值也會逼近在全區域上的積分值。如果函數f在某區間\mathcal{I}上黎曼可積,那麼對於滿足\mathcal{I}_n \subset \mathcal{I}_{n+1} \lim_{n \to \infty} \mathcal{I}_n = \mathcal{I}的區間序列\left(\mathcal{I}_n \right)_{n \in \mathbb{N}},有

\lim_{n \to \infty} \int_{\mathcal{I}_n} f(x) \, dx =  \int_{\mathcal{I}} f(x) \, dx

積分不等式[編輯]

涉及積分的基本不等式可以看作是一些離散不等式的類比。如柯西不等式的積分版本:假如有函數fg使得fgf^2g^2都在區間\mathcal{I}上黎曼可積,那麼

\left( \int_{\mathcal{I}} (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_{\mathcal{I}} f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_{\mathcal{I}} g(x)^2 \, dx \right).

而更廣泛的赫爾德不等式也有積分版本。設有正實數pq,其倒數和為1:\frac1p + \frac1q = 1,則對黎曼可積函數fg,有以下不等關係(在下式各項有意義的時候):

\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leqslant
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.

可以看出柯西不等式是赫爾德不等式在p = q = 2的時候的特例。

此外閔可夫斯基不等式也有積分版本。設有正實數p \geqslant 1,則對黎曼可積函數fg,有以下不等關係:

\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.

對於勒貝格可積的函數,類似的不等式可以幫助構建L^p空間

一個函數f可積若且唯若函數|f|可積,並且f的積分的絕對值,小於等於其絕對值的積分: \left| \int_ {\mathcal{I}}  f \right| \leqslant \int_{\mathcal{I}}|f|。如果函數f勒貝格可積,那麼|f|幾乎處處有限。

微積分基本定理[編輯]

微積分基本定理是將微分運算(求導運算)和積分運算(原函數)聯繫在一起的基本定理。從基本定理可以看出微分和積分運算之間的互逆關係。定理敘述如下:

設有在閉區間[a, b]上連續的可積函數f。考慮積分上限函數F(x) = \int_a^x f(t)\,  \mathrm{d} t,則F在閉區間[a, b]上連續,在開區間(a, b) 上可導,並且對開區間(a, b) 中任意的x有:

F'(x) = f(x)

微積分基本定理的一個實用的直接推論,也被稱為微積分第二基本定理:

設有在閉區間[a, b]上連續的可積函數f。考慮它的一個原函數F(x),即:

F'(x) = f(x)

f在區間[a, b]上的定積分滿足:

\int_a^b f(t) \mathrm{d} t = F(b) - F(a).

推廣[編輯]

反常積分[編輯]


\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi
這是一個既含有無限積分區間,被積函數也無限的積分

狹義的黎曼積分中,被積函數是定義在閉區間(長度有限)上的函數,因此取值也是在有限區間中。反常積分也稱為廣義積分,是對更一般區間上的函數定義的積分,研究在狹義黎曼積分的被積函數條件沒有滿足時,是否能夠有積分的定義。一個基本的情形是,被積函數在半開區間[a, b)上有定義,然而在自變數趨向開區間的某一端(比如說b)時,函數有「瑕點」(函數值趨向無窮或沒有極限)。這時候,考察被積函數在閉區間[a, b - ε]上的積分值I_\epsilon,如果當其中的正實數 ε 趨向於0的時候,積分值I_\epsilon趨於一個極限I,那麼就稱被積函數在[a, b)上廣義可積,並且稱其為瑕積分I。這個定義也可以簡單地記作:

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x)\,\mathrm{d}x

另一個基本的情形是區間長度為無限大的情形,稱為無窮限廣義積分。比如說被積函數在在半開區間[a, ∞)上有定義。考慮被積函數在閉區間[a, b]上的積分值I_b,如果當b趨向正無窮大的時候,積分值I_b趨於一個極限I,那麼就稱被積函數在[a, ∞)上廣義可積,並且稱為無窮限積分I。這個定義也可以簡單地記作:

\int_{a}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x

其餘更加複雜的情形包括瑕點在區間內部,或者同時包含了無窮限的情形等等。這些情形都可以拆分為基本情形的組合,然後使用以上的方法探討廣義積分的存在性。比如,考慮函數f(x) = 1/((x+1)\sqrt{x})在正實數區間(0到正無窮)上的積分(如右圖所示)。這是一個雙重廣義積分。一方面函數在0處有瑕點(在0附近趨向正無窮),另一方面函數積分區域是無窮限(直到正無窮大)。這時候可以將這個積分分割為兩個部分來考察。比如說以1為界限,左右分割為0到1的積分和1到正無窮大的積分。

首先考察1到正無窮大的部分,依據上述方法,可以首先考察f(x)在閉區間[1, t]上的積分:

I_t = \int_{1}^{t} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}} = 2 \arctan{\sqrt{t}} - \frac{\pi}{2}.

當實數t趨於無窮大的時候,上述積分值的極限為\lim_{t \to \infty} \left(2 \arctan{\sqrt{t}} - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}. 所以f(x)從1到正無窮大的積分可以定義為:

\int_{1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}} = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \frac{\pi}{2}.

同樣地,考察從0到1的部分,可以首先考察f(x)在閉區間[s, 1]上的積分:

I_s = \int_{s}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}} = \frac{\pi}{2} - 2 \arctan{\sqrt{s}}.

當正實數s趨於0的時候,上述積分值的極限為\lim_{s \to 0} \left(\frac{\pi}{2} - 2 \arctan{\sqrt{s}} \right) = \frac{\pi}{2}. 所以f(x)從0到1的積分可以定義為:

\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}} = \lim_{s \to 0} \int_{s}^{1} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \frac{\pi}{2}.

因此可以定義f(x) = 1/((x+1)\sqrt{x})在正實數區間(0到正無窮)上的積分為這兩部分的和:

\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}}  =  \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}}
   + \int_{1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}} =\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.

多重積分[編輯]

狹義積分的積分範圍是實數的一個區間或者可測子集。多重積分將積分範圍擴展到多維空間中的區域或可測子集。比如說二重積分的積分範圍是平面上的一個區域。這時候積分\int_D f(x) \, \mathrm{d}x中的變數x可以是(賦予了拓撲結構的)向量空間裡面的一個向量。富比尼定理證明,在一定條件下,多重積分可以轉換為累次積分。也就是說,在多維空間上的積分可以通過轉化為多個嵌套的一重積分來計算。通常的方法是將多重的積分變數轉變為各個坐標指標上的積分變數。例如,考慮以下二重積分:

\int_C e^{-x^2 - y^2} \,\mathrm{d}\sigma.

其中的C = \{ (x, y) \; | \; x^2 + y^2 \leqslant 1 \}是一個半徑為1的圓盤。這個二重積分可以轉變成:

\int_C e^{-x^2 - y^2} \,\mathrm{d}\sigma = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{\sqrt{1 - y^2}} e^{-x^2 - y^2} \,\mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} e^{-r^2} \, r\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta.

路徑積分與曲面積分[編輯]

路徑積分也稱曲線積分,可以看作是區間上積分的推廣。積分的範圍不是區間(直線段),而是高維空間中的有向曲線。後者稱為積分路徑。路徑積分有很多種類,當積分路徑為閉合曲線時,稱為環路積分或圍道積分。路徑積分的被積函數可以是純量函數(純量場)或向量函數(向量場)。如果被積函數F是一個梯度場,那麼F的曲線積分與所取的路徑無關,而只與路徑的起點和終點的選取有關。與路徑積分類似,平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的(有向)曲面上進行積分,稱為曲面積分。路徑積分和曲面積分是物理學中很重要的工具,例如計算電場重力場中的做功、量子力學中計算粒子出現的機率,會用到路徑積分。流體力學中計算流體的流量、電力學中使用高斯定律計算電場和電荷分布時,會用到曲面積分。

積分的種類[編輯]

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Robert G. Bartle. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library Edition. 1995. ISBN 978-0-471-04222-8 (英文). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 John K. Hunter, Bruno Nachtergaele. Applied Analysis. World Scientific(插圖版). 2001. ISBN 9789810241919 (英文). 
  3. ^ Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1984, p. 56.