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圆周率

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圆周率是一个数学常数,为一个周长和其直径的比率,约等于3.1415926535897932384626。它在18世纪中期之后一般用希腊字母π指代,有时也被拼写为“pi”(/p/)。

因为π是一个无理数,所以它不能用分数完全表示出来(即它的小数部分是一个无限不循环小数)。当然,它可以用像般的有理数的近似值表示。π的数字序列被认为是随机分布的,有一种统计上特别的随机性,但至今未能证明。此外,π还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式。由于π的超越性质,因此不可能用尺规作图化圆为方的问题。

几个文明古国在很早就需要计算出π的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时,南朝宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间,印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个π的精确无穷级数公式(即π的莱布尼茨公式)直到约1000年后才由印度数学家发现。[1][2]在20和21世纪,由于计算机技术的快速发展,借助计算机的计算使得π的精度急速提高。截至2015年,π的十进制精度已高达1013位。[3]当前人类计算π的值的主要原因为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法,因为几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位。[4]:17[5]

因为π的定义中涉及圆,所以π在三角学几何学的许多公式,特别是在关于圆形,椭球形或球形的公式中广泛地应用。由于π被用作特征值这一特殊作用,它也在一些数学和科学领域(例如数论和统计中计算数据的几何形状)中出现,也在宇宙学,热力学,力学和电磁学中有所出现。π的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍π的书籍,圆周率日(3月14日)和π值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外,背诵π值的世界记录已经达到70,000位的精度。

直径为1的圆的周长是π

基本知识[编辑]

名称[编辑]

数学家用小写希腊字母π表示圆周和其直径之比,有时也将其拼写为pi,这来自于希腊语“περίμετρος”(周长)的首字母。[6] 在英语中,π的发音与英文单词“pie”(/p/西式馅饼)相同。[7]在数学中,π的小写字母(或者是其无衬线体)要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。

关于选择符号π的原因,请参见π符号的引入一节。

定义[编辑]

A diagram of a circle, with the width labeled as diameter, and the perimeter labeled as circumference
圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为π。

π通常被定义为周长C直径d的比值:[4]:8

.

无论圆的大小如何,比值C/d为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍,它的周长也将变为二倍,比值C/d不变。当前π的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理,虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面(即非欧几里得几何),但这些圆将不再符合定律π=C/d[4]

这里,圆的周长指其圆周的弧长,弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。[8]例如,若想计算笛卡儿坐标系中单位圆x2 + y2 = 1上半部分的弧长,需要用到积分[9]

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对π的积分定义。[10]

这些依赖于周长,且隐性地依赖积分的π的定义,如今在文献中并不常见。雷默特(Remmert (1991))解释说这是因为在现代微积分教学中,大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前,所以不依赖于后者的π的定义就很有必要了。其中一种定义,由理查·巴尔策英语Richard Baltzer提出,[11]爱德蒙·兰道推广,[12]其表述如下:π是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。[4][9][13]余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数[14]定义,或者使用微分方程的解来定义。[13]

在相似的启发下,π可以用关于复变量复指数函数来定义。复指数类似余弦函数,可以多种方式被定义。令函数值为一的复数集合是一个如下所示的(虚)算数过程:

,

并且其中包括一个独特的正实数π。[9][15]

一个基于同样想法,但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学代数学概念,用以下定理描述:[16]存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态(拓扑学概念,指在拓扑空间之间的一种态射)。数字π被定义为此同态派生的模的一半。[17]

在给定的周长的条件下,圆会围成最大的面积,因此π同样被表述为等周不等式中出现的常数(乘四分之一)。此外,在很多其他紧密相关的方程中,π作为某些几何或者物理过程的特征值出现;详见下文

无理性及正规性[编辑]

π是个无理数,也就是说,π无法表示成两个整数之比的形式(形如22/7的分数常被用来近似表达π,但是没有任何普通分数(指整数的比)可以取到π的精确值)。[4]:5由于π是无理数,它可以表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数英语proof that π is irrational,并且这些证明都要用到微积分学反证法。人们还无法准确得知π可以用有理数来近似的程度(称为无理性度量),不过估计其无理性度量比eln(2)的要大,但是小于刘维尔数的无理性度量[18]

通过统计随机性英语statistical randomness检验,包括正规数的检验,人们验证了π的位数没有明显的固定模式。因此,π的小数中任意固定长度的序列(例如3位数字的000,001……999)出现概率都相同[19]。不过有关π正规数的猜想既没有被证明,也没有被证伪[4]:22-23[19]

电脑的出现使得人们可以生成大量π的不同位数,并进行统计分析。金田康正针对π的十进制数字进行了详细的统计分析,并验证了其分布的正规性:例如,将出现0到9十个数字的频率进行假设检定,找不到有特定重复规律的证据[4]:22, 28–30。根据无限猴子定理,任何任意长度,由随机内容组成的子序列都有可能看起来像不随机产生的。因此,就算π的小数序列通过了随机性统计测试,其中也可能有几位的数字看起来似有规律可循而非随机数,例如π的十进制写法中,自第762位小数后开始出现了连续六个的9[4]:3

超越性[编辑]

A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi
由于π超越数,不能利用尺规作图化圆为方。

π不仅是个无理数,还是一个超越数,即π不是任何一个有理数系数多项式。(比方说,试图通过解有限项方程,来求得π的值。)[20][21]

π的超越性衍生出了一些重要的结果:π不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得,因此π不是规矩数。换言之,利用尺规作图作不出长度为π的线段,也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圆为方问题,该问题早在古典时代就被提出,曾困扰人们数千年之久。[22][23]直至今天,依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题。[24]

连分式[编辑]

像所有的无理数一样,π无法表示成一个分数。但是每一个无理数,包括 π,都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式:

在这个连分数的任意一点截断化简,都能得到一个π的近似值;前四个近似值是:3,22/7,333/106,355/113。这些数在历史上是π最广为人知且广泛使用的几个近似值。用以上方式得出的π的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π[25]由于π是一个超越数,据超越数定义来说它不是代数数,又因此不可能是一个二次无理数;是故π不能表示为循环连分数。尽管π的简单连分数没有表现出任何其他明显规律,[26]数学家们发现了数个广义连分数能表示π,例如:[27]

近似值[编辑]

圆周率近似值包括:

  • 整数3
  • 分数(依准确度顺序排列,选自A063674A063673):22/7333/106355/11352163/16604103993/33102245850922/78256779[25]
  • 小数:根据A000796,圆周率首50个小数位是3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...[4]:240
  • 二进制:圆周率的二进制表示的首48位是11.001001000011111101101010100010001000010110100011...
  • 十六进制:圆周率的十六进制表示的首20位是3.243F6A8885A308D31319...[4]:242
  • 六十进制:圆周率的六十进制表示的首5位是3;8,29,44,0,47[28]

复数与欧拉恒等式[编辑]

在复平面上以原点为圆心的单位圆内,一条射线从圆心出发至圆的边上,以此射线与圆的边的交点作与x轴的垂线并标注了夹角φ和sinφ、cosφ函数
欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的之间的关系。

任何复数(以 z 为例)都可以表示为一组实数对:在极坐标系中,一个实数r用来表示半径,代表复平面上复数 z 离原点的距离;另一个实数 则用来表示夹角,即这条半径(复平面上复数 z 与原点的连线)与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来,z 就可以写成[29]

,这里 i 代表一个虚数单位,即i2 = -1

复分析中,欧拉公式三角函数与复指数函数糅合在了一起[30]

,这里数学常数e自然对数的底数。

欧拉公式确立了 e 的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系,而且当φ = π时,欧拉公式就能改写为欧拉恒等式的形式:

。此等式也会被称为“最奇妙的数学公式”,因为它把5个最基本的数学常数简洁地串了起来[30][31]

欧拉等式亦可用于求出方程zn = 1n 个不同的复数根(这些根被称为“n单位根[32]),可以根据以下公式求得:

谱特征[编辑]

震荡弦的泛音是二次微分的本征函数,会形成泛音列。对应的本征值会形成由π整数倍组成的等差数列

π经常出现在和几何相关的问题之中。然而,在不少和几何无关的问题中也可以看到π的身影。

π在许多的应用中都会以特征值的形式出现。例如理想的振动弦英语vibrating string问题可以建模为函数f在单位区间[0,1]的图形,固定边界值f(0) = f(1) = 0。弦振动的模态会是微分方程f "(x) + λ2 f(x) = 0,此处λ是相关的特征值。受施图姆-刘维尔理论限制,λ只能是一些特定的数值。而λ = π即为一个特征值,因为函数f(x) = sin(π x)满足边界条件及微分方程λ = π[33]

依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一个传说,古迦太基城的外形是等周长问题的一个解(Thompson 1894)。这些包围着海的区域是迦太基女王狄多所围的,城不靠海的边界需要用一块指定大小的牛皮围住,后来是将牛皮剪成小段

π是上述方程中最小的特征值,也和弦振动的基本模式英语fundamental mode有关。一个让弦振动的方式是提供弦能量,能量会满足一个不等式,维尔丁格函数不等式英语Wirtinger's inequality for functions[34],其中提到若函数f : [0, 1] → ℂ使得f(0) = f(1) = 0,且ff '都是平方可积函数,则以下的不等式成立:

此例中等号成立的条件恰好是fsin(π x)倍数的时候。因此π似乎是维尔丁格不等式的最佳常数,因此也是最小的特征值(根据雷利商数英语Rayleigh quotient的计算方式)

π在更高维度的分析中也有类似的角色,出现在其他类似问题的特征值中。就如以上所述π的一个特点是等周定理中的最佳常数:周长为P的平面若尔当曲线,所围面积A满足以下的不等式

等号成立的条件是曲线为一圆形,因为A = πr2P = 2πr.[35]

圆周率π也和庞加莱不等式的最佳常数有关[36]π是一维及二维的狄氏能量英语Dirichlet energy特征向量最佳值中,最小的一个,因此π会出现在许多经典的物理现象中,例如经典的位势论[37][38][39]。其一维的情形即为Wirtinger不等式 。

圆周率π也是傅里叶变换的一个重要常数,傅里叶变换属于积分变换,将一个在实数线上的一个有复数值,可积分的函数,转换为以下的型式:

傅里叶变换有几种不同的写法,但不论怎么写,傅里叶变换及反傅里叶变换中,一定会有某处出现π。不过上述的定义是最经典的,因为其描述了L2空间中唯一的幺正算符,也是L1空间到L空间的代数同态[40]

不确定性原理中也有出现π这个数字。不确定性原理提出了可以将一个函数在空间及在频域中局部化程度的下限,利用傅里叶转换的方式表示:

物理的结果,有关量子力学中同时观测位置及动量的不确定性,见下文。傅里叶分析中π的出现是史东–冯纽曼定理英语Stone–von Neumann theorem的结果,证实了海森伯群薛定谔表示英语Schrödinger representation的唯一性[41]

高斯积分[编辑]

高斯函数的图像,函数下方与X轴围成的阴影部分面积为

高斯积分是对高斯函数在整条实轴上的积分,即函数下方与X轴围成的面积,其结果为

此积分的计算可以先计算对整条实轴的积分的平方,通过转换笛卡尔坐标系极坐标系从而求得

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为,求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求的积分。

另外,当高斯函数为以下形式时,它则是平均数标准差正态分布概率密度函数[42]

因为这个函数是一个概率密度函数,函数下方与X轴围成的面积必须为1,令即可变换得出概率论统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型:例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布[43]

由一维布朗运动的反正弦定律,可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算π

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及π的核心作用,这个定理本质上是联系着π谱特征海森堡不确定性原理相关的特征值,并且在不确定性原理中有

这里的分别为位置与动量的标准差约化普朗克常数,而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立[44]

同样地,π作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换,此时的高斯函数形式为[45]。根据豪(Howe)的说法,建立傅里叶分析基本定理的“全部工作(whole business)”简化为高斯积分。

历史[编辑]

远古时期[编辑]

圆周率在远古时期(公元前一千纪)已经被估算到了前两位(“3”和“1”)。有些埃及学家声称,远至古王国时期时期的古埃及人已经用22/7作为圆周率的约数[46][47],但这个说法受到了质疑。[48][49][50][51]

最早有记载的对圆周率估值在古埃及巴比伦出现,两个估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一块公元前1900至1600年的泥板英语Clay tablet,泥板上几何学的陈述暗示了人们当时把圆周率等同于25/8(等于3.125)。[4]:167埃及的莱因德数学纸草书(被鉴定撰于公元前1650年,但抄自一份公元前1850年的文本)载有用作计算圆面积的公式,该公式中圆周率等于(16/9)2(约等于3.125)。[4]:167

公元前4世纪的《百道梵书英语Shatapatha Brahmana》中的天文学运算把339/108(约等于3.139,精确到99.91%)用作圆周率估值。[52]公元前150年前的其他印度文献把圆周率视为10(约等于3.1622)[4]:169

在公元后的第一个千年,中国的数学家们又把圆周率估算到了小数点后7位小数。此后直到中世纪末,人们对于圆周率的估算没有更多进展。

割圆时代[编辑]

图中有圆的外切五边形、内接五边形、外切六边形及内接六边形
π可以透过计算圆的外切多边形及内接多边形周长来估算

第一个有纪录、严谨计算π数值的算法是透过正多边形的几何算法,是在公元前250年由希腊数学家阿基米德所发明。[4]:170这个算法使用了有一千年之久,因而有时π也会称为是阿基米德常数。[4]:175、205阿基米德的算法是在计算圆的外切正六边形及内接正六边形的边长,以此计算π的上限及下限,之后再将六边形变成十二边形,继续计算边长……,一直计算到正96边形为止。他根据多边形的边长,证明了223/71 < π < 22/7(也就是3.1408 < π < 3.1429[53]。阿基米德得到的上限22/7也造成一个常见的误解,认为π就等于22/7[4]:171。在公元前150年,希腊罗马的科学家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一书中提到π的数值是3.1416,可能是来自阿基米德,也可能是来自阿波罗尼奥斯[4]:176[54]数学家在1630年利用多边形的方式计算π到第39位小数,一直到1699年才被其他数学家利用无穷级数的方式打破其纪录,计算到第71位小数[55]

独自研究图形的阿基米德
阿基米德发展了用多边形近似π的计算方式

中国历史上,π的数值有3[56]、3.1547(公元前一世纪)、10(公元前100年,数值约3.1623)及142/45(第三世纪,数值约3.1556)[4]:176–177。大约在公元265年,曹魏的数学家刘徽创立了割圆术,用3,072边的正多边形计算出π的数值为3.1416。[57][4]:177刘徽后来又发明了一个较快的算法,利用边数差两倍的正多边形,其面积的差值会形成等比数列,其公比为1/4的原理,配合96边形算出π的数值为3.14。[57]祖冲之在公元480年利用割圆术计算12,288形的边长,得到π355/113(现在称为密率),其数值为3.141592920,小数点后的前七位数都是正确值。在之后的八百年内,这都是准确度最高的π估计值。[4]:178为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献,日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”。[58]

印度天文学家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亚哈塔历书》中使用了3.1416的数值。[4]:179斐波那契在大约1220年利用独立于阿基米德多边形法,计算出3.1418[4]:180。意大利作家但丁·阿利吉耶里用的数值则是3+2/10 ≈ 3.14142[4]:180

波斯天文学家卡西在1424年利用3×228边的多边形,计算到六十进制的第9位小数,相当十进制的第16位小数。[59][60]这一突破成为当时的纪录,延续了约180年。[61]法国数学家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217边形计算到第9位小数[61],佛兰芒数学家阿德里安·范·罗门在1593年计算到第15位小数[61]。荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦在1596年计算到第20位小数,他之后又计算到第35位小数(因此在二十世纪初之前,圆周率在德国会称为鲁道夫数)。[4]:182–183荷兰科学家威理博·司乃耳在1621年计算到第34位小数[4]:183,而奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格英语Christoph Grienberger在1630年用1040边形计算到第38位小数[62],至今这仍是利用多边形算法可以达到最准确的结果[4]:183

无穷级数[编辑]

比较几个曾用来计算π的无穷级数的收敛情形。Sn是只取前n项的近似值。每一个图都是对应前一张图的阴影部分,然后横轴放大10倍。(点击后可以察看细节)

16世纪及17世纪时,π的计算开始改用无穷级数的计算方式。无穷级数是一组无穷数列的和[4]:185–191。无穷级数让数学家可以计算出比阿基米德以及其他用几何方式计算的数学家更准确的结果。[4]:185–191虽然詹姆斯·格雷果里戈特弗里德·莱布尼茨等欧洲数学家利用无穷数列计算π而使得该方法为大家所知,但这种方法最早是由印度科学家在大约1400到1500年之间发现的。[4]:185-186[63]第一个记载的用无穷级数计算π的人是约公元1500年左右时,印度天文学家尼拉卡莎·萨默亚士英语Nilakantha Somayaji在他的著作《系统汇编英语Tantrasamgraha》中用梵语诗所记录。[64]当时没有这个数列对应的证明,而证明出现在另一本较晚的印度作品《基本原理英语Yuktibhāṣā》,年代约在公元1530年。尼拉卡莎将该数列归功于更早期的印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦英语Madhava of Sangamagrama( 1350 –  1425)。[64]有许多相关的无穷级数,包括有关sin、tan及cos的,现在称为马德哈瓦数列英语Madhava seriesπ的莱布尼茨公式[64]。玛达瓦在1400年用无穷级数计算π到第11位小数,但在1430年一位波斯数学家卡西利用多边形算法否定了他算的的结果[65]

长发艾萨克·牛顿的画像
艾萨克·牛顿利用无穷级数计算π到第15位,后来写道:“我很羞愧的告诉你我为了这个计算用了多少个数字。”[66]

欧洲第一个发现的无穷项圆周率公式无穷乘积(和一般用来计算π的无穷级数不同),由法国科学家弗朗索瓦·韦达在1593年发现[4]:187[67]

约翰·沃利斯在1655年发现了沃利斯乘积,是欧洲第二个发现的无穷项圆周率公式[4]:187

微积分学是由英国科学家艾萨克·牛顿及德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代发明,因此也出现许多计算π的无穷级数。牛顿自己就利用反正弦(arcsin)数列在1655年或1666年将π近似到第15位小数,后来写到“我很羞愧的告诉你我为了这个计算用了多少个数字,我当时没有做其他的事。”[66]

苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里在1671年发现了马德哈瓦公式,莱布尼茨也在1674年发现:[4]:188–189[68]

这个公式即为格雷果里-莱布尼茨公式,在z = 1时数值为π/4[68]1699年时英国数学家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式,在时计算,计算到了π的第71位小数,打破由多边形算法得到的第39位小数的记录。[4]:189格雷果里-莱布尼茨公式在时非常简单,但收敛到最终值的速度非常慢,因此现在不再会用此公式来计算π[4]:156

约翰·梅钦英语John Machin在1706年利用格雷果里-莱布尼茨级数产生了一个可以快速收敛的公式:[4]:192–193

梅钦用这个公式计算到π的第100位小数[4]:72–74后来其他数学家也发展了一些类似公式,现在称为梅钦类公式,创下了许多计算π位数的记录。[4]:72–74在进入电脑时代时,梅钦类公式仍然是个耳熟能详的可以计算π的公式,而且在约250年的时间里,很多有关π位数的记录都是梅钦类公式所得,比如在1946年时由达尼尔·弗格森(Daniel Ferguson)用这类公式计算到第620位小数,是在没有计算设备辅助下的最佳纪录。[4]:192–196, 205

1844年,计算天才扎卡里亚斯·达斯英语Zacharias Dase在德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的要求下以梅钦类公式心算了π的200个小数位,并创下纪录。[4]:194-196英国数学家威廉·谢克斯英语William Shanks花了15年的时间计算π到小数707位,不过中间在第528位小数时出错,因此后面的小数也都不正确。[4]:194–196

收敛速度[编辑]

有些π的无穷级数收敛的比其他级数要快,数学家一般会选用收敛速度较快的级数,可以在较少的计算量下计算π,且达到需要的准确度[69][4]:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202。以下是π莱布尼茨公式[4]:69–72

随着一项一项的值加入总和中,只要项次够多,总和最后会慢慢接近π。不过此数列的收敛速度很慢,要到500,000项之后,才会精确到π的第五小数[70]

尼拉卡莎在15世纪发展了另一个π的无穷级数,其收敛速度较格雷果里-莱布尼茨公式要快很多,该级数为:[71]

以下比较二个级数的收敛速率:

π的无穷级数 第1项 前2项 前3项 前4项 前5项 收敛到:
4.0000 2.6666... 3.4666... 2.8952... 3.3396... π = 3.1415...
3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396...

计算前5项后,格雷果里-莱布尼茨级数的和跟π的误差为0.2,而尼拉卡莎级数和的误差为0.002。尼拉卡莎级数收敛的快很多,因此也比较适合用来计算π的数值。收敛更快的级数有梅钦类公式楚德诺夫斯基算法,后者每计算一项就可以得到14位正确的小数值数[69]

无理性与超越性[编辑]

并非所有和π有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年,欧拉解决了巴塞尔问题,因而建立了所有平方数倒数和与π的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式,得到了π素数的重要关联,对日后黎曼ζ函数的研究影响深远。[72]

1761年,瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明英语Proof that π is irrationalπ无理数[4]:5[73]1794年,法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了π2也是无理数。1882年,德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数都是超越数,该结论后来被魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。根据该定理和欧拉公式,π只能是超越数。这证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。[4]:196[74]哈代在其著作《数论导引》中则称该证明在提出之后被希尔伯特施瓦兹和其他一些人化简过。[75]

π符号的引入[编辑]

莱昂哈德·欧拉在他在1736年到1748年的作品中开始使用希腊字母π表示圆周率,因此也开始广为被数学界使用

π被用来专指“圆周率”之前,希腊字母就已经被用在几何概念中[4]:166威廉·奥特雷德在1647年起在《数学之钥》(Clavis Mathematicae)就已经用π及δ(对应p和d的希腊字母)来表示圆的周长及直径的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新数学导论》(A New Introduction to the Mathematics)中提到了π,是目前已知最早专门用希腊字母π表示圆周和其直径比例的人[76]。这个希腊字母的第一次出现,是在书中讨论一个半径为1的圆时,提到“其圆周长的一半(π)”。琼斯选用了π的原因可能是因为它是希腊文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一个字[77]。不过琼斯提到,他的那些有关π的算式是出自“真正聪明的约翰·梅钦先生”,因此人们推测在琼斯之前,约翰·梅钦英语John Machin就已经开始使用此希腊字母表示圆周率[4]:166

琼斯是在1706年开始使用此希腊字母,但直到莱昂哈德·欧拉在其1736年出版的《力学英语Mechanica》中开始使用之后,其他的数学家们才纷纷开始用π来指代圆周率。在此之前,数字家可能用像cp之类的字母代表圆周率[4]:166。因为欧拉与欧洲其他数学家之间时常互相写信来往,π的用法迅速传播开来[4]:166。1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了π,写道:“为了简洁起见,我们将此数字写为ππ等于半径为1的圆周长的一半。”这个表示方式之后也推展到整个西方世界[4]:166

现代数值近似[编辑]

计算机时代与迭代算法[编辑]

一位穿着西装男士的照片
约翰·冯·诺伊曼所在的团队是第一个用数位计算机ENIAC来计算π

高斯-勒让德算法
一开始设定

迭代计算:

π的估计值为

二十世纪中期计算机技术的发展、革新再次引发了计算π位数的热潮。美国数学家约翰·伦奇及李维·史密斯在1949年利用桌上型计算机计算到1,120位[4]:205。同年,乔治·韦斯纳(George Reitwiesner)及约翰·冯·诺伊曼带领的团队利用反三角函数(arctan)的无穷级数,通过ENIAC计算到了小数第2,037位,花了70小时的电脑工作时间[78]。这一纪录后来多次被其他利用了arctan级数计算出的结果打破(1957年到7480位小数,1958年到第一万位数,1961年到第十万位小数),直到1973年,人们计算出了小数点后的第一百万位小数[4]:197

1980年代的两项发明加速了π的计算。第一项是人们发现了新的的迭代法去计算π的值,其计算速度比无穷级数会要快很多。另一项是人们发现了可以快速计算大数字乘积的乘法算法英语Multiplication algorithm[4]:15–17。这类算法在现代π的计算上格外的重要,因为电脑大部分的工作时间都是在计算乘法[4]:131。这类算法包括Karatsuba算法Toom–Cook乘法英语Toom–Cook multiplication及以傅里叶变换为基础的乘法算法(傅里叶乘法)[4]:132, 140<。

迭代算法最早是在1975年至1976年间分别由美国物理学家尤金·萨拉明英语Eugene Salamin (mathematician)及奥地利科学家理查·布兰特英语Richard Brent (scientist)独立提出[4]:87。这两个算法没有依赖无穷级数来计算。迭代会重复一个特定的计算,将前一次的计算结果作为这一次的输入值,使得计算结果渐渐的趋近理想值。此方式的原始版本其实是在160年前由卡尔·弗里德里希·高斯提出,现在称为算术-几何平均数算法(AGM法)或高斯-勒让德算法[4]:87。因为萨拉明及布兰特都曾对此进行修改,因此这个算法也称为萨拉明-布兰特算法。

迭代算法因为收敛速度比无穷级数快很多,在1980年代以后广为使用。无穷级数随着项次的增加,一般来说正确的位数也会增加几位,但迭代算法每多一次计算,正确的位数会呈几何级数增长。例如萨拉明-布兰特算法每多一次计算,正确位数会是之前的二倍。1984年加拿大人乔纳森·波温英语Jonathan Borwein彼得·波温英语Peter Borwein提出一个迭代算法,每多一次计算,正确位数会是之前的四倍,1987年时有另一个迭代算法,每多一次计算,正确位数会是之前的五倍[79]。日本数学家金田康正使用的算法在1955年及2002年之间创下了若干个纪录[80]。不过迭代算法的快速收敛也有其代价,因为这个算法需要的内存的大小明显的要比无穷级数要多[80]

计算π的意义[编辑]

当数学家发现新的算法、电脑变得普及时,π的已知小数位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标

一般而言,π值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照约尔格·阿恩特(Jörg Arndt)及克里斯托夫·黑内尔(Christoph Haenel)的计算,39个数位已足够运算绝大多数的宇宙学的计算需求,因为这个精确度已能够将可观测宇宙圆周的精确度准确至一个原子大小[81]。 尽管如此,人们仍然是奋力地运算出π小数点后的上千甚至上百万个数位[4]:17–19。这一部分是出于人类对打破记录的冲动,因为那些和π有关的成就往往成为世界各地的新闻头条[82][83]。此外,这其中也有一些实际的好处,例如测试超级计算机、测试数值分析算法等(包括高精度乘法算法英语Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs)。在纯粹数学的领域中,计算π的位数也能让人们来评定π的随机性[4]:18

快速收敛级数[编辑]

一位男士的肖像
斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像,他在印度独立工作时提出了许多新颖的计算π的数列。

现代计算π的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代,人们发现了一些新的可用来计算π的无穷级数,其收敛速度可与迭代算法媲美,而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。[80]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱,他在1914年发表了许多与π相关的公式,这些公式十分新颖,极为优雅而又颇具数学深度,收敛速度也非常快。[4]:103–104下式即为一例,其中用到了模方程

这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列,包括梅钦公式。[4]:104第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀英语Bill Gosper,他在1985年算得了小数点后一千七百万位。[4]:104, 206拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河,此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟英语Chudnovsky brothers进一步发展了这类算法。[4]:110–111后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式,如下所示:

此公式每计算一项就能得到π的约14位数值[84],因而被用于突破圆周率的数位的计算。利用这个公式,楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿(109)位,法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿(2.7×1012)位,亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿(1013)位。[4]:110–111, 206[85][86]类似的公式还有拉马努金-佐藤级数英语Ramanujan–Sato series

2006年,加拿大数学家西蒙·普劳夫利用PSLQ整数关系算法英语integer relation algorithm[87]按照以下模版生成了几个计算π的新公式:

其中qeπ格尔丰德-施奈德常数),k是一个奇数a, b, c是普劳夫计算出的有理常数。[88]

蒙特卡洛方法[编辑]

长度为ℓ的针散落在画满间距为t的平行线的平面上
布丰投针问题,多枚长度为的针随机地抛掷向平面。
大量的点随机的散落在一个内切四分之一圆的正方形内
随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。
蒙地卡罗方法基于随机试验结果计算π的近似值

蒙地卡罗方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法,通过进行大量重复试验计算事件发生的频率,按照大数定律(即当试验次数充分大时,频率充分地接近于概率)可以求得π的近似值[89]布丰投针问题就是其中一个应用的例子:当一枚长度为的针随机地往一个画满间距为t (t)的平行线的平面上抛掷n次, 如果针与平行直线相交了m次,那么当n充分大时就可根据以下公式算出π的近似值[90]

另一个利用蒙特卡罗方法计算π值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点,落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于π/4.[4]:39–40[91]


此外,还可以通过进行随机游走试验,并利用蒙特卡罗方法计算π值,如抛掷一枚均匀的硬币N次,并记录正面朝上的次数,所得结果中,正面朝上的次数nN服从二项分布

因为硬币均匀,所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量Xk (k = 1,2,…),当抛掷结果为正面时Xk = 1否则为 -1,且Xk = ±1且取何值具有相同的概率(即,正面朝上和背面朝上的概率相同)。对随机变量Xk (k = 1,2,…,N)求和可得

k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”,即可得到 m−(N−m) = k。对式子进行变换,得 m = N+k/2,因此

,其中 k = -N, -N+2, -N+4, …, N−2, N

可以证明[92]

,以及

并且当N变大时,E(|WN|)的值会渐近于2N/π,因此当N充分大时可根据以下公式算出π的近似值:[93]

和其他计算π值的方法相比,蒙特卡洛方法收敛速度很慢,而且无论进行多少次实验,都无从得知π的估值已经精确到了第几位。因此,当追求速度或精度时,蒙特卡洛方法不适合用来估计π[4]:43[94]

阀门算法[编辑]

两个于1995年引入的算法开辟了研究π的新途径。因为每计算出一位数字,这个数字就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中,这种新引入算法被称为阀门算法英语spigot algorithm[4]:77–84[95]这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。[4]:77–84

1995年,美国数学家斯坦·瓦格纳英语Stan Wagon和斯坦利·拉比诺维茨(Stanley Rabinowitz)发明了一种简单的阀门算法[95][4]:77[96],其运算速度类似arctan算法,但速度比迭代算法要慢[4]:77

贝利-波尔温-普劳夫公式(BBP)是另一个阀门算法,属于一种位数萃取算法英语digit extraction algorithm。1995年,西蒙·普劳夫等人发现[4]:117, 126–128[97]

这个公式和其他的公式不同,可以在十六进制下计算π的任意位数小数,而不用计算所有前面的小数位数[4]:117, 126–128。一个十六进制下的数位可计算得到特定一个二进制的数位;想要得到一个八进制数位的话,计算一、两个十六进制小数即可。目前也已发现一些这种算法的变体,不过人们还没有发现针对十进制、可以快速产生特定位数小数数字的位数萃取算法[98]。位数萃取算法的一个重要用途是用来确认声称是计算到π小数位数的新记录:若有声称是新纪录的计算结果出现,先将十进制的数值转换到十六进制,再用贝利-波尔温-普劳夫公式,去确认最后的一些位数(用乱数决定),若这些位数都对,人们就能有一定把握认为此计算结果是对的[86]

在1998年到2000年之间,分布式计算计划PiHex英语PiHex利用贝拉公式(贝利-波尔温-普劳夫公式的一种变体)计算π的第1015位元,结果是0[4]:20[99]。在2010年9月,一名雅虎员工利用公司的Apache Hadoop应用程序在上千台电脑上计算π在2×1015个数位开始,往后数的256个位元,其第2×1015个位元刚好也是0[100]

用途[编辑]

由于 π 与圆密切相关, 它出现了许多几何学和三角学的公式中(特别是与圆、球体和椭圆相关的那些)。 此外π 也出现在其他学科的一些重要公式中,比如统计学、物理学,傅立叶分析和数论的公式。

几何学与三角学[编辑]

圆右上四分之一的被正方形覆盖的图。
圆的面积等于 π 乘以阴影部分面积。

π出现在基于圆的几何图形(如椭圆圆锥环面)的面积、体积公式中。下面是一些涉及到 π 的较为常见的公式。[101]

  • 半径为 r 的圆周长为 r
  • 半径为 r圆的面积πr2
  • 半径为 r 的球的体积为 4/3πr3
  • 半径为 r 的球面的面积为 r2

上述公式是n 维球的体积与其边界((n−1) 维球的球面)的表面积的特殊情况,具体将在后文给出解释。

描述由圆产生的图形的周长、面积或体积的定积分通常会涉及到 π。例如,表示半径为1的半圆的面积的积分为:[102]

由于 1 − x2 的积分表示上半圆(此处的平方根勾股定理得出), 从-1到1的积分 1
−1
可用来计算计算半圆与x之间的面积。

函数图象
正弦余弦函数的重复周期为 2π

三角函数要用到角,而数学家们常常用弧度作为角度的单位。π 在弧度制中起着重要作用,数学家将一个周角,即角度 360°,定义为 2π 弧度。[103]由这条定义可得,角度 180° 等于 π 弧度,角度 1° = π/180 弧度。[103]因此,常用的三角函数的周期为 π 的倍数;例如,正弦和余弦周期为2π[104]对于任何角度 θ 和任何整数 k,都有

,以及 [104]

拓扑学[编辑]

克莱因四次方英语Klein quartic单值化亏格为3且欧拉特征值为−4的面,作为双曲面菲诺平面英语Fano plane对称群PSL(2,7)英语PSL(2,7)的商。根据高斯-博内定理,基本域的双曲面积为8π.

常数 π 出现在将平面微分几何英语differential geometry of surfaces及其 拓扑学联系起来的高斯-博内定理中。具体来说,如果一个曲面Σ高斯曲率K,那么有

其中χ(Σ)是该曲面的欧拉示性数,是一个整数。[105]例如,一个曲率为1(也就是说其曲率半径英语radius of curvature也为1,对于球面而言此时的曲率半径与半径重合)的球面 S 的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算,其结果为2。于是,便得出

即为半径为1的球面的表面积公式。

常数 π 还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中,特别是那些涉及通过陈-韦伊同态的特征类[106]

向量分析[编辑]

向量分析的方法可以通过分解成球谐函数来理解(图示)

向量分析是与向量场的性质有关的微积分的分支,并有许多物理应用,例如应用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源 Q牛顿位势英语Newtonian potential[107]

表示位于距原点 |x| 的单位质量(或电荷)的势能,而 k 是维度常数。在这里由 E 表示的场可以是(牛顿)引力场或(库仑)电场,是位势的负梯度

特殊情况有库仑定律牛顿万有引力定律高斯定律表明,通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面 S 的场的向外通量等于 4πkQ

\oiint

标准形式会将 的这个因子吸收到常数 k 中,但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外, 是单位球面的表面积,但并没有假设 S 是球面。然而,作为散度定理的结果,由于远离原点的区域是真空(无源的),只有 R3\{0} 中的表面 S同调类与计算积分有关,因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替,特别是球形,因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势 V 的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数kQ 倍:

通过卷积就能得到物质(或电荷)的更一般分布,给出泊松方程

其中 ρ 是分布函数。

爱因斯坦方程表明,时空的曲率是由其中的物质能量产生的。

常数 π 在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用,爱因斯坦方程是形成广义相对论基础的一个基本公式,并且把引力基本相互作用描述为物质能量引起的时空弯曲的结果:[108]

其中 Rμν里奇曲率张量R数量曲率gμν度量张量Λ宇宙学常数G万有引力常数c 是真空中的光速,而 Tμν应力-能量张量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟,并化简(reduce)至在弱域的极限,而右边是分布函数的模拟乘以

柯西积分公式[编辑]

复杂的解析函数可以以一系列的流线和等电位线(许多以直角相交的曲线)视觉化,图中是伽玛函数的复数对数。

复分析中,沿复平面若尔当曲线围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西积分公式表明,对任意若尔当曲线γ内任一点z0,以下围道积分给出[109]

该命题是柯西积分定理的直接推论,后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变,因而沿任一曲线的积分和沿以z0为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地,该公式对不通过z0点的任意可求长曲线都成立,但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数

一般形式的柯西积分公式建立了全纯函数 f(z)在若尔当曲线γ上的值与曲线内任意点z0处值的关系:[110][111]

柯西积分定理是留数定理的一个特例。根据留数定理,在区域内除去有限个解析的亚纯函数g(z)在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足:

Γ函数与斯特灵公式[编辑]

通过维拉瑞索圆英语Villarceaux circles将三个球面霍普夫纤维化,下方是 富比尼–施图迪度量黎曼球面 with its 富比尼–施图迪度量 (如图所示的三个平行曲面). 恒等式S3(1)/S2(1) = π/2可以确定一个数列。

阶乘函数 n! 的值等于所有小于等于 n 的正整数之积,它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是阶乘的推广。它在复平面的右半平面定义为:

再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整个复数域。当自变量取正整数时,Γ函数给出阶乘(n-1)!;当自变量取半整数时,计算结果含有π。例如[112]

根据魏尔施特拉斯分解定理,Γ函数可分解为如下的无穷乘积:[113]

其中γ欧拉-马斯刻若尼常数。利用该分解公式和Γ函数在z = 1/2的值Γ(1/2)2 = π,亦可以证明沃利斯乘积式。Γ函数和黎曼ζ函数函数行列式英语functional determinant的恒等式存在关联,其中π扮演着重要的角色

Γ函数常被用于计算 n 维欧氏空间中n 维球的体积和n 维球面的表面积。对 n 维欧氏空间中半径为 rn 维球,其体积Vn(r)和表面积Sn−1(r)满足:[114]

两者还满足如下的关系式:

n很大时,利用Γ函数可以得到关于阶乘n!的一个近似公式。该公式被称为斯特灵公式[115],等价于:

斯特灵近似的几何应用之一是埃尔哈特体积猜想英语Ehrhart's volume conjecture。将n维欧几里得空间的单纯形记作Δn(n+1)Δn则表示该单纯形的所有面扩大n+1。于是

这是仅包含一个晶格点的凸体体积的(最佳)上界[116]

数论与黎曼ζ函数[编辑]

每个质数都有一个关联的普鲁法群英语Prüfer group,即圆的算数定域。分析数论中的L函数也定域在每个质数p上。
基于韦伊猜想英语Weil conjecture on Tamagawa numbers的巴塞尔问题的解: 的数值是模群英语modular group中一个基本域的双曲面积的 倍。

黎曼ζ函数ζ(s) 在数学的许多领域均有应用。当自变量 s = 2 ,可以写作

找到这个无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年,欧拉解决了这个问题,他得到该无穷级数等于 π2/6[72]。欧拉的结论可以推导出一个数论中的结果,即两个随机整数互质(即无公因数)的概率为6/π2 [4]:41–43[117]。由于任意整数可以被质数p整除的概率1/p(例如,在所有正整数中,连续7个数中有且只有一个可以被7整除)。因此,任取两个随机整数都能被质数p整除的概率为 1/p2,至少有一个不能被整除的概率则为 1 − 1/p2。又因为一个随机整数能否被两个不同的质数整除是相互独立事件,那么两个随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数p的无穷乘积[118]

这个结论可以结合随机数生成器,利用蒙特卡罗方法计算 π 的近似值。[4]:43

巴塞尔问题的结论意味着几何导出量 π 的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山-志村定理的一个特殊情况,是安德烈·韦伊对玉河数的猜想英语Weil's conjecture on Tamagawa numbers的一个特例,即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数 p 的无穷乘积能够等于一个几何量——某个局部对称空间英语locally symmetric space体积的倒易。在巴塞尔问题中,这个空间是一个双曲3-流形英语hyperbolic 3-manifold SL2(R)/SL2(Z)英语modular group[119]

函数同样满足黎曼方程的公式,其中用到了 π 和伽玛公式:

除此之外, 函数导数也满足

最终的结果是 π 可以从谐振子泛函行列式英语functional determinant中求得。这个泛函行列式可以通过一个无穷乘积展开式计算, 而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。[120]这种方法可以应用于量子力学, 尤其是玻尔模型中的变分[121]

傅里叶级数[编辑]

π出现在P进数中的表示(如图),它们是普鲁法群英语Prüfer group的元素。泰特的论文英语Tate's thesis很大程度地利用了这个系统。[122]

周期函数傅里叶级数中,很自然地出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群T =R/Z上的函数。傅里叶分解指出,一个T上的复值函数f可表示为无穷多个T酉特征英语unitary character的线性叠加之和。也就是说,T圆群U(1)(模为1的复数组成的乘法群)的映射是连续群同态T的特征都具有的形式,这是一个定理。

T上存在一个唯一的特征值,直到复共轭,那是一个群同态。在圆群中使用 哈尔测度,常数是这个特征值的拉东-尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为2的正整数倍。[17]因此,常数是一个独特的数字,以至于配备了其哈尔测度的群T,具有对于整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性[123]。这是泊松和公式英语Poisson summation formula的一维版本。

模形式与Θ函数[编辑]

常数π模形式Θ函数密切相关——比如,椭圆曲线中的j变量英语j-invariant就很大程度上涉及到了楚德诺夫斯基算法(一种快速计算π的方法)。

模形式是以在上半平面全纯函数的在模群英语modular group(或其子群,的一格)下的变换特性归纳。Θ函数便是一例:

它是一种名为雅可比形式英语Jacobi form的模形式,[124]有时以诺姆英语nome (mathematics)表达。

常数π是一个特殊的常数,它会使雅可比Θ函数形成自守形式,即该函数会以特定方式变换。有若干恒等式在所有自守形式下成立。,例如:

它使得θ必然在离散海森伯群下以表示(representation)变换。一般模形式和其他Θ函数也包含π,这也是根据史东–冯纽曼定理英语Stone–von Neumann theorem[124]

柯西分布与位势论[编辑]

箕舌线,其英文名来源于玛利亚·阿涅西(1718–1799),是柯西分布的一个几何构筑图。

柯西分布

是一个概率密度函数。其总概率等于1,因为下列积分:

柯西分布的香农熵等于log(4π), 也含 π

柯西分布控制做布朗运动的粒子通过膜的通道

柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的福斯坦堡测度英语Furstenberg boundary和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核[125]共轭谐波函数英语Conjugate harmonic function以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。 希尔伯特变换H 是一个由奇异积分柯西主值给出的积分变换

常数π是唯一的(正)归一化因子因此 H 定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的线性复结构英语linear complex structure[126]。 和傅里叶变换一样,希尔伯特变换就其在希尔伯特空间 L2(R)的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化,它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子[127]。常数π是唯一的能使这个变换幺正的归一化因子。

复变动态系统[编辑]

一个复平面下,曼德博集合的黑色图案,背景为蓝色的
可以从曼德博集合中计算π,计算方式和计算从(−0.75, ε)点开始,一直到发散之前的次数有关

大卫·波尔(David Boll)在1991年发现在曼德博集合分形中也有π的出现[128]。他检查在曼德博集合在(−0.75, 0)位置的特性。若考虑坐标在“颈部”(−0.75, ε)的点,而ε趋近于零,在发散之前迭代的次数和ε相乘,会趋近于π。若是在右侧尖点处附近的点(0.25, ε)也会有类似的特性:在发散之前迭代的次数和ε的平方根相乘,也会趋近于π[128][129]

数学之外的π[编辑]

描述物理现象[编辑]

即便π不是一个物理常数π也经常出现在描述宇宙的基本原则方程中,因为π与圆以及球坐标系的关系密切。比方说,这是经典力学领域一个简单的公式,给出了长度为L的单摆做小幅摆动的近似周期(g为地球引力加速度常数):[130]

海森堡不确定性原理是量子力学的一个基本公式,它表明在对一个粒子测量时,其位置不确定度(Δx)与动量不确定度(Δp)不可能同时达到任意小(h为普朗克常数):[131]

π近似于三这一特性,和电子偶素的半衰期相对较长有密切的联系。其半衰期的倒数和精细结构常数α的关系为[132]

其中m为电子质量。

π也出现在许多结构工程的公式中,例如欧拉推导的挫曲公式说明了长度为L截面二次轴矩I的细长形物体,在不挫曲的条件下可以承受的最大轴向负载F[133]

流体动力学斯托克斯定律中也有π。斯托克斯定律是半径约为R的小球体在黏度η流体中以速度v运动时会受到的阻力满足[134]

在理想状态下,一个河流的曲折程度——也就是河道本身的长度与源头到入海口的比值——随着时间的推移逐渐趋向于π。河流外边缘的快速水流的弯曲会导致河流内边缘加倍的侵蚀,而河道因此变得更加弯曲,使得整个河流弯折得更加厉害。然而,这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方,导致“短路”,并在此过程中形成一个河迹湖。这两种相反的因素使得河道长度与源头到入海口的比值的平均值为π[135][136]

π的记忆技巧[编辑]

π文字学(或译作圆周率π的语言学)是指人们记住π大量的位值[4]:44–45,并将其世界纪录载于吉尼斯世界纪录大全中的做法。维尔·米纳(Rajveer Meena)于2015年3月21日在印度于9小时27分钟内背诵了7万位的π,创下吉尼斯世界纪录大全认证的世界纪录。[137]2006年,日本退休工程师原口证,自称已经背诵了十万个小数位,但他未获吉尼斯世界纪录大全认证。[138]

一个常用于记忆π的技巧是背诵一个以单词的长度代表π数值的故事或诗歌:第一个单词有三个字母,第二个单词有一个字母,第三个单词有四个字母,第四个单词有一个字母,第五个单词有五个字母,如此类推。一个早期的例子是由英国科学家詹姆士·金斯设计的诗歌:“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.”[4]:44–45这一类的诗歌有时在英文中被称为“piem”。除了英文,用于记忆π的诗歌亦有不同语言的版本[4]:44-45。但是,创下纪录的记忆π的人一般并不以诗歌记忆π,而是用如记忆数字规律或轨迹法英语method of loci的方法。[139]

有好几位作家仿照上述记忆技巧,用π的数值创作了新型的约束写作英语constrained writing方式,其中单词的长度须符合π的数值。《The Cadaeic Cadenza英语Cadaeic Cadenza》以上述技巧包含了π前3835位的值[140],一本标准长度的书《Not a Wake》有一万个单词,其中每个单词亦代表了π的一个位值。[141]

大众文化中的π[编辑]

Pi Pie at Delft University
一个π派。圆形的西式馅饼是个常见的π双关语(在英语中,圆周率和派的发音相同)。

也许因为π的公式很简短而且四处可见, π比其他数学常数在流行文化中更常见。[142]

在2008年由英国公开大学英国广播公司联合制作的记录片《数学的故事英语The Story of Maths》于2008年十月由英国广播公司第四台播放。影片讲述了英国数学家马库斯·杜·索托伊在到访印度研究当地三角学的贡献时,展示出历史上π最精确的计算公式的信息图形[143]

在巴黎的科学博物馆发现宫中有一个称为“π房”的圆形房间。墙上刻有π的707位数字。数字贴在圆顶状的天花板上,由大型的木制字符组成。数值是1853年由英国数学家威廉·尚克思英语William Shanks的计算结果,但是该结果于第528位后开始出现错误。这错误在1946年被发现,1949年它被修正。[144][4]:50

卡尔·萨根的小说《接触未来》中则暗示说,宇宙的创造者在π的数字中暗藏了一则信息。[145]π的数字也被用在凯特·布希所出的专辑Aerial英语Aerial (album)中的《Pi》的歌词里。[146]

在美国,人们在3月14日庆祝圆周率日,一个在学生中很流行的节日。[147]一些自称“数学极客”的人常常用π与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话麻省理工学院则有几个包含“3.14159”的大学欢呼口号英语cheering[148]2015年的圆周率日格外重要,因为按照美式的写法,当天的日期时间3/14/15 9:26:53较之于其他的圆周率日包含了更多位数的π[149]

北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上,谷歌使用了一些包含π在内的数学或科学常数进行竞价。[150]

在1958年,阿尔伯特·伊格尔英语Albert Eagle提议π换成τ(tau)以便简化公式。这里的τ被定义为π的一半。[151]然而,没有任何其他作者曾这样使用过τ。有些人使用一个不同的值,τ = 6.283185... = 2π[152]这些人辩称τ,不论是作为弧度制下一个圆形周长的1,还是作为弧长与半径的比值(而不是与直径的比值),都比π显得更加自然,也能因此简化掉许多公式。[153][154]已经有媒体报道称,有人在6月28日庆祝“τ节”,并吃“两个派”,因为τ的值大小约为6.28。[155]然而,对于τ的使用还并没有在数学界成为主流。[156]

在1897年,一个业余的美国数学家试图通过印第安纳州议会来通过被后世称作印第安纳圆周率法案的法案。这一法案因试图以法律命令强制规定一个数学常数而臭名远扬。该法案描述了一个化圆为方的方法,并间接提到了π的错误值,例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决,但是被参议院否决。[4]:211–212[157][158]

参考资料[编辑]

注脚[编辑]

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文献[编辑]

延伸阅读[编辑]

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外部链接[编辑]