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圓周率

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圓周率是一个数学常数,为一个周长和其直径的比率,约等于3.14159。它在18世纪中期之后一般用希腊字母π指代,有时也被拼写为“pi”(/p/)。

因为π是一个无理数,所以它不能用分数完全表示出来(即它的小数部分是一个无限不循环小数)。当然,它可以用诸如之类的有理数的近似值表示。π的数字序列被認為是随机分布的,有一种统计上特别的随机性,但至今未能证明。此外,π还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式。由於π的超越性质,因此不可能用尺规作图化圆为方的问题。

几个文明古国在很早就需要计算出π的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时,南宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间,印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个π的精确无穷级数公式(即π的莱布尼茨公式)直到约1000年后才由印度数学家发现。[1][2]在20和21世纪,由于计算机技术的快速发展,借助计算机的计算使得π的精度急速提高。截至2015年,π的十进制精度已高达1013位。[3]当前人类计算π的值的主要原因为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法,因为几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位。[4]:17[5]

因为π的定义中涉及圆,所以π在三角学几何学的许多公式,特别是在关于圆形,椭球形或球形的公式中广泛地应用。由于π被用作特征值这一特殊作用,它也在一些数学和科学领域(例如数论和统计中计算数据的几何形状)中出现,也在宇宙学,热力学,力学和电磁学中有所出现。π的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍π的书籍,圆周率日(3月14日)和π值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外,背诵π值的世界记录已经达到70,000位的精度。

直徑为1的圓的周长是π

基本知识[编辑]

名称[编辑]

数学家用小写希腊字母π表示圆周和其直径之比,有时也将其拼写为pi,這来自于希腊语“περίμετρος”(周长)的首字母。[6] 在英语中,π的发音与英文单词“pie”(/p/西式馅饼)相同。[7]在数学中,π的小写字母(或者是其无衬线体)要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。

关于选择符号π的原因,请参见π符号的引入一节。

定义[编辑]

A diagram of a circle, with the width labeled as diameter, and the perimeter labeled as circumference
圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为π。

π通常被定义为周长C直径d的比值:[4]:8

.

无论圆的大小如何,比值C/d为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍,它的周长也将变为二倍,比值C/d不变。当前π的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理,虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面(即非欧几里得几何),但这些圆将不再符合定律π=C/d[4]

这里,圆的周长指其圆周的弧长,弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。[8]例如,若想计算笛卡儿坐标系中单位圆x2 + y2 = 1上半部分的弧长,需要用到积分[9]

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对π的积分定义。[10]

这些依赖于周长,且隐性地依赖积分的π的定义,如今在文献中并不常见。雷默特(Remmert (1991))解释说这是因为在现代微积分教学中,大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前,所以不依赖于后者的π的定义就很有必要了。其中一种定义,由理查·巴爾策英语Richard Baltzer提出,[11]愛德蒙·蘭道推广,[12]其表述如下:π是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。[4][9][13]余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数[14]定义,或者使用微分方程的解来定义。[13]

在相似的启发下,π可以用关于复变量复指数函数来定义。复指数类似余弦函数,可以多种方式被定义。令函数值为一的复数集合是一个如下所示的(虚)算数过程:

,

并且其中包括一个独特的正实数π。[9][15]

一个基于同样想法,但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学代数学概念,用以下定理描述:[16]存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态(拓扑学概念,指在拓扑空间之间的一种态射)。数字π被定义为此同态派生的模的一半。[17]

在给定的周长的条件下,圆会围成最大的面积,因此π同样被表述为等周不等式中出现的常数(乘四分之一)。此外,在很多其他紧密相关的方程中,π作为某些几何或者物理过程的特征值出现;详见下文

无理性及正规性[编辑]

π是个无理数,也就是说,π无法表示成两个整数之比的形式(形如22/7的分数常被用来近似表达π,但是没有任何普通分数(指整数的比)可以取到π的精确值)。[4]:5由于π是无理数,它可以表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数英语proof that π is irrational,并且这些证明都要用到微积分学反证法。人们還無法準確得知π可以用有理数来近似的程度(稱為無理性度量),不過估計其無理性度量比eln(2)的要大,但是小於刘维尔数的無理性度量[18]

通過統計隨機性英语statistical randomness检验,包括正规数的检验,人们验证了π的位數沒有明顯的固定模式。因此,π的小数中任意固定长度的序列(例如3位數字的000,001……999)出現機率都相同[19]。不過有關π正规数的猜想既没有被證明,也没有被证伪[4]:22-23[19]

電腦的出現使得人们可以生成大量π的不同位数,并進行統計分析。金田康正針對π的十進制數字進行了詳細的統計分析,并验证了其分布的正规性:例如,將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定,找不到有特定重复规律的證據[4]:22, 28–30。根據無限猴子定理,任何任意長度,由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機产生的。因此,就算π的小数序列通過了隨機性統計測試,其中也可能有幾位的數字看起來似有规律可循而非隨機数,例如π的十進制写法中,自第762位小數后开始出现了連續六個的9[4]:3

超越性[编辑]

A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi
由于π超越數,不能利用尺规作图化圓為方。

π不仅是个无理数,还是一个超越数,即π不是任何一个有理数系数多项式。(比方说,试图通过解有限项方程,来求得π的值。)[20][21]

π的超越性衍生出了一些重要的结果:π不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得,因此π不是规矩数。换言之,利用尺规作图作不出长度为π的线段,也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圓為方问题,该问题早在古典时代就被提出,曾困扰人们数千年之久。[22][23]直至今天,依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题。[24]

连分式[编辑]

像所有的无理数一样,π无法表示成一个分数。但是每一个无理数,包括 π,都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式:

在这个连分数的任意一点截断化简,都能得到一个π的近似值;前四个近似值是:3,22/7,333/106,355/113。这些数在历史上是π最广为人知且广泛使用的几个近似值。用以上方式得出的π的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π[25]由于π是一个超越数,据超越数定义来说它不是代數數,又因此不可能是一个二次無理數;是故π不能表示为循环连分数。尽管π的简单连分数没有表现出任何其他明显规律,[26]数学家们發現了数个广义连分数能表示π,例如:[27]

近似值[编辑]

圆周率近似值包括:

  • 整數3
  • 分數(依准确度順序排列,选自A063674A063673):22/7333/106355/11352163/16604103993/33102245850922/78256779[25]
  • 小數:根据A000796,圓周率首50個小数位是3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...[4]:240
  • 二进制:圆周率的二进制表示的首48位是11.001001000011111101101010100010001000010110100011...
  • 十六进制:圆周率的十六进制表示的首20位是3.243F6A8885A308D31319...[4]:242
  • 六十進制:圆周率的六十进制表示的首5位是3;8,29,44,0,47[28]

复数与欧拉恒等式[编辑]

在复平面上以原点为圆心的单位圆内,一条射线从圆心出发至圆的边上,以此射线与圆的边的交点作与x轴的垂线并标注了夹角φ和sinφ、cosφ函数
欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原點为圆心的单位圆上的之间的关系。

任何复数(以 z 为例)都可以表示为一组实数对:在极坐标系中,一个实数r用来表示半径,代表复平面上复数 z 离原點的距离;另一个实数 则用来表示夹角,即这条半径(复平面上复数 z 与原点的连线)与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来,z 就可以写成[29]

,这里 i 代表一个虛數單位,即i2 = -1

复分析中,欧拉公式三角函数与复指数函数糅合在了一起[30]

,这里数学常数e自然對數的底数。

欧拉公式确立了 e 的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系,而且当我们令φ = π时,欧拉公式就能改写为歐拉恆等式的形式:

。此等式也会被称为“最奇妙的数学公式”,因为它把5个最基本的数学常数简洁地串了起来[30][31]

谱特征[编辑]

震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數,會形成泛音列。對應的本徵值會形成由π整數倍組成的等差数列

π经常出现在和几何相关的问题之中。然而,在不少和几何无关的问题中也可以看到π的身影。

π在許多的應用中都會以特征值的形式出現。例如理想的振動弦英语vibrating string問題可以建模為函數f在單位區間[0,1]的圖形,固定邊界值f(0) = f(1) = 0。弦振動的模態會是微分方程f "(x) + λ2 f(x) = 0,此處λ是相關的特徵值。受施图姆-刘维尔理论限制,λ只能是一些特定的數值。而λ = π即為一個特征值,因為函數f(x) = sin(π x)滿足邊界條件及微分方程λ = π[32]

依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一個傳說,古迦太基城的外形是等周長問題的一個解(Thompson 1894)。這些包圍著海的區域是迦太基女王狄多所圍的,城不靠海的邊界需要用一塊指定大小的牛皮圍住,後來是將牛皮剪成小段

π是上述方程中最小的特征值,也和弦振動的基本模式英语fundamental mode有關。一個讓弦振動的方式是提供弦能量,能量會滿足一個不等式,維爾丁格函數不等式英语Wirtinger's inequality for functions[33],其中提到若函數f : [0, 1] → ℂ使得f(0) = f(1) = 0,且ff '都是平方可積函數,則以下的不等式成立:

此例中等號成立的條件恰好是fsin(π x)倍數的時候。因此π似乎是維爾丁格不等式的最佳常數,因此也是最小的特征值(根據雷利商數英语Rayleigh quotient的計算方式)

π在更高維度的分析中也有類似的角色,出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述π的一個特點是等周定理中的最佳常數:周長為P的平面若尔当曲线,所圍面積A滿足以下的不等式

等號成立的條件是曲线為一圓形,因為A = πr2P = 2πr.[34]

圓周率π也和庞加莱不等式的最佳常數有關[35]π是一維及二維的狄氏能量英语Dirichlet energy特征向量最佳值中,最小的一個,因此π會出現在許多經典的物理現象中,例如經典的位势论[36][37][38]。其一維的情形即為Wirtinger不等式 。

圓周率π也是傅里叶变换的一個重要常數,傅里叶变换屬於积分变换,將一個在實數線上的一個有複數值,可積分的函數,轉換為以下的型式:

傅里叶变换有幾種不同的寫法,但不論怎麼寫,傅里叶变换及反傅里叶变换中,一定會有某處出現π。不過上述的定義是最經典的,因為其描述了L2空間中唯一的幺正算符,也是L1空間到L空間的代數同態[39]

不确定性原理中也有出現π這個數字。不确定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限,利用傅立葉轉換的方式表示:

物理的結果,有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性,見下文。傅立葉分析中π的出現是史東–馮紐曼定理英语Stone–von Neumann theorem的結果,證實了海森伯群薛定諤表示英语Schrödinger representation的唯一性[40]

高斯积分[编辑]

高斯函数的图像,函数下方与X轴围成的阴影部分面积为

高斯积分是对高斯函数在整条实轴上的积分,即函数下方与X轴围成的面积,其结果为

此积分的计算可以先计算对整条实轴的积分的平方,通过转换笛卡尔坐标系极坐标系从而求得

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为,求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求的积分。

另外,当高斯函数为以下形式时,它则是平均数標準差正态分布機率密度函數[41]

因为这个函数是一个概率密度函数,函数下方与X轴围成的面积必须为1,令即可变换得出概率论统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型:例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布[42]

由一维布朗运动的反正弦定律,可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算π

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及π的核心作用,这个定理本质上是联系着π谱特征海森堡不确定性原理相关的特征值,并且在不确定性原理中有

这里的分別為位置與動量的標準差約化普朗克常数,而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立[43]

同样地,π作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换,此时的高斯函数形式为[44]。根据豪(Howe)的说法,建立傅里叶分析基本定理的“全部工作(whole business)”简化为高斯积分。

历史[编辑]

远古时期[编辑]

圓周率在远古时期(公元前一千纪)已经被估算到了前两位(“3”和“1”)。有些埃及學家聲稱,遠至古王國時期時期的古埃及人已經用22/7作為圓周率的約數[45][46],但這個說法受到了質疑。[47][48][49][50]

最早有記載的对圓周率估值在古埃及巴比伦出现,兩個估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板英语Clay tablet,泥板上幾何學的陳述暗示了人们当时把圓周率等同于25/8(等於3.125)。[4]:167埃及的莱因德数学纸草书(被鉴定撰於公元前1650年,但抄自一份公元前1850年的文本)載有用作計算圓面積的公式,该公式中圓周率等于(16/9)2(約等於3.125)。[4]:167

公元前4世紀的《百道梵書英语Shatapatha Brahmana》中的天文學運算把339/108(約等於3.139,精确到99.91%)用作圓周率估值。[51]公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為10(約等於3.1622)[4]:169

在公元后的第一个千年,中国的数学家们又把圓周率估算到了小数点后7位小数。此後直到中世纪末,人们對於圓周率的估算没有更多进展。

割圆时代[编辑]

圖中有圓的外切五邊形、內接五邊形、外切六邊形及內接六邊形
π可以透過計算圓的外切多邊形及內接多邊形周長來估算

第一個有紀錄、嚴謹計算π數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法,是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。[4]:170這個算法使用了有一千年之久,因而有時π也會稱為是阿基米德常數。[4]:175、205阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長,以此計算π的上限及下限,之後再將六邊形變成十二邊形,繼續計算邊長……,一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長,證明了223/71 < π < 22/7(也就是3.1408 < π < 3.1429[52]。阿基米德得到的上限22/7也造成一個常見的誤解,認為π就等於22/7[4]:171。在公元前150年,希臘羅馬的科學家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一書中提到π的數值是3.1416,可能是來自阿基米德,也可能是來自阿波罗尼奥斯[4]:176[53]數學家在1630年利用多邊形的方式計算π到第39位小數,一直到1699年才被其他數學家利用無窮級數的方式打破其紀錄,計算到第71位小數[54]

獨自研究圖形的阿基米德
阿基米德發展了用多邊形近似π的計算方式

中国历史上,π的數值有3[55]、3.1547(公元前一世紀)、10(公元前100年,數值約3.1623)及142/45(第三世紀,數值約3.1556)[4]:176–177。大約在公元265年,曹魏的數學家刘徽創立了割圆术,用3,072邊的正多邊形計算出π的數值為3.1416。[56][4]:177刘徽後來又發明了一個較快的算法,利用邊數差兩倍的正多邊形,其面積的差值會形成等比數列,其公比為1/4的原理,配合96邊形算出π的數值為3.14。[56]祖冲之在公元480年利用割圆术計算12,288形的邊長,得到π355/113(現在稱為密率),其數值為3.141592920,小数点后的前七位數都是正確值。在之後的八百年內,這都是準確度最高的π估計值。[4]:178為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻,日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”,簡稱“祖率”。[57]

印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。[4]:179斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法,計算出3.1418[4]:180。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是3+2/10 ≈ 3.14142[4]:180

波斯天文學家卡西在1424年利用3×228邊的多邊形,計算到六十進制的第9位小數,相當十進制的第16位小數。[58][59]這一突破成為當時的紀錄,延續了約180年。[60]法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217邊形計算到第9位小數[60],佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數[60]。荷蘭數學家鲁道夫·范·科伊伦在1596年計算到第20位小數,他之後又計算到第35位小數(因此在二十世紀初之前,圓周率在德國會稱為鲁道夫數)。[4]:182–183荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數[4]:183,而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格英语Christoph Grienberger在1630年用1040邊形計算到第38位小數[61],至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果[4]:183

无穷级数[编辑]

比較幾個曾用來計算π的無窮級數的收斂情形。Sn是只取前n項的近似值。每一個圖都是對應前一張圖的陰影部份,然後橫軸放大10倍。(點擊後可以察看細節)

16世紀及17世紀時,π的計算開始改用無窮级数的計算方式。無窮级数是一組無窮數列的和[4]:185–191。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。[4]:185–191雖然詹姆斯·格雷果里戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π而使得该方法为大家所知,但这种方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現的。[4]:185-186[62]第一個记载的用無窮级数計算π的人是约公元1500年左右时,印度天文學家尼拉卡莎·薩默亞士英语Nilakantha Somayaji在他的著作《系統匯編英语Tantrasamgraha》中用梵語詩所記錄。[63]當時沒有這個數列對應的證明,而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理英语Yuktibhāṣā》,年代約在公元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦英语Madhava of Sangamagrama( 1350 –  1425)。[63]有許多相關的無窮级数,包括有關sin、tan及cos的,現在稱為馬德哈瓦數列英语Madhava seriesπ的莱布尼茨公式[63]。瑪達瓦在1400年用無窮级数計算π到第11位小數,但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果[64]

長髮艾萨克·牛顿的畫像
艾萨克·牛顿利用無窮级数計算π到第15位,後來寫道:「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字。」[65]

歐洲第一個發現的無窮項圓周率公式無窮乘積(和一般用來計算π的無窮級數不同),由法國科學家弗朗索瓦·韦达在1593年發現[4]:187[66]

約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积,是歐洲第二個發現的無窮項圓周率公式[4]:187

微积分学是由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明,因此也出現許多計算π的無窮級數。牛頓自己就利用反正弦(arcsin)數列在1655年或1666年將π近似到第15位小數,後來寫到「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字,我當時沒有做其他的事。」[65]

蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式,莱布尼茨也在1674年發現:[4]:188–189[67]

這個公式即為格雷果里-莱布尼茨公式,在z = 1時數值為π/4[67]1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式,在時計算,計算到了π的第71位小數,打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。[4]:189格雷果里-莱布尼茨公式在時非常簡單,但收斂到最終值的速度非常慢,因此現在不再会用此公式來計算π[4]:156

約翰·梅欽英语John Machin在1706年利用格雷果里-莱布尼茨級數產生了一個可以快速收斂的公式:[4]:192–193

梅欽用這個公式計算到π的第100位小數[4]:72–74後來其他數學家也發展了一些類似公式,現在稱為梅欽類公式,創下了許多計算π位數的記錄。[4]:72–74在進入電腦時代時,梅欽類公式仍然是个耳熟能详的可以計算π的公式,而且在约250年的时间里,很多有關π位數的記錄都是梅欽類公式所得,比如在1946年時由達尼爾·弗格森(Daniel Ferguson)用這類公式計算到第620位小數,是在沒有計算設備輔助下的最佳紀錄。[4]:192–196, 205

1844年,計算天才扎卡里亞斯·達斯英语Zacharias Dase在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了π的200個小數位,並創下紀錄。[4]:194-196英國數學家威廉·謝克斯英语William Shanks花了15年的時間計算π到小數707位,不過中間在第528位小數時出錯,因此後面的小數也都不正確。[4]:194–196

收敛速度[编辑]

有些π的無窮級數收斂的比其他級數要快,數學家一般會選用收斂速度較快的級數,可以在較少的計算量下計算π,且達到需要的準確度[68][4]:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202。以下是π莱布尼茨公式[4]:69–72

隨著一項一項的值加入總和中,只要項次夠多,總和最後會慢慢接近π。不過此數列的收斂速度很慢,要到500,000項之後,才會精確到π的第五小數[69]

尼拉卡莎在15世紀發展了另一個π的無窮級數,其收斂速度較格雷果里-萊布尼茨公式要快很多,該級數為:[70]

以下比較二個級數的收斂速率:

π的無窮級數 第1項 前2項 前3項 前4項 前5項 收斂到:
4.0000 2.6666... 3.4666... 2.8952... 3.3396... π = 3.1415...
3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396...

計算前5項後,格雷果里-萊布尼茨級數的和跟π的誤差為0.2,而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多,因此也比較適合用來計算π的數值。收斂更快的級數有梅欽類公式楚德诺夫斯基算法,後者每計算一項就可以得到14位正確的小數值數[68]

无理性与超越性[编辑]

并非所有和π有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年,欧拉解决了巴塞尔问题,从而建立了所有平方数倒数和与π的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式,进而发现了π黎曼ζ函數素数的关系。[71]

1761年,瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明英语Proof that π is irrationalπ無理數[4]:5[72]1794年,法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了π2也是无理数。1882年,德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数都是超越数,该结论后来被魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。根据该定理和欧拉公式,π只能是超越數。这证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。[4]:196[73]哈代在其著作《数论导引》中则称该证明在提出之后被希尔伯特施瓦兹和其他一些人化简过。[74]

π符号的引入[编辑]

萊昂哈德·歐拉在他在1736年到1748年的作品中開始使用希臘字母π表示圓周率,因此也開始廣為被數學界使用

π被用来专指“圆周率”之前,希腊字母就已经被用在幾何概念中[4]:166威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》(Clavis Mathematicae)就已經用π及δ(對應p和d的希臘字母)來表示圓的周長及直徑的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》(A New Introduction to the Mathematics)中提到了π,是目前已知最早专门用希臘字母π表示圓周和其直徑比例的人[75]。這個希臘字母的第一次出现,是在书中討論一個半徑為1的圓時,提到「其圓周長的一半(π)」。琼斯選用了π的原因可能是因為它是希臘文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一個字[76]。不過琼斯提到,他的那些有關π的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」,因此人们推測在瓊斯之前,約翰·梅欽英语John Machin就已经开始使用此希臘字母表示圓周率[4]:166

瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母,但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學英语Mechanica》中開始使用之后,其他的数学家们才纷纷开始用π来指代圆周率。在此之前,數字家可能用像cp之類的字母代表圓周率[4]:166。因為歐拉與歐洲其他數學家之间时常互相写信来往,π的用法迅速傳播开来[4]:166。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了π,写道:「為了簡潔起見,我們將此數字寫為ππ等於半徑為1的圓周長的一半。」这个表示方式之後也推展到整個西方世界[4]:166

现代数值近似[编辑]

计算机时代与迭代算法[编辑]

一位穿著西裝男士的照片
约翰·冯·诺伊曼所在的團隊是第一個用數位計算機ENIAC來計算π

高斯-勒让德算法
一開始設定

迭代計算:

π的估計值為

二十世紀中期计算机技术的发展、革新再次引发了計算π位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年利用桌上型計算機計算到1,120位[4]:205。同年,喬治·韋斯納(George Reitwiesner)及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数(arctan)的無窮級數,通过ENIAC計算到了小數第2,037位,花了70小時的電腦工作時間[77]。這一紀錄後來多次被其他利用了arctan級數计算出的結果打破(1957年到7480位小數,1958年到第一萬位數,1961年到第十萬位小數),直到1973年,人们计算出了小数点后的第一百萬位小數[4]:197

1980年代的两项發明加速了π的計算。第一项是人们發现了新的的迭代法去计算π的值,其計算速度比無窮級數會要快很多。另一项是人们發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法英语Multiplication algorithm[4]:15–17。這類演算法在現代π的計算上格外的重要,因為電腦大部分的工作時間都是在計算乘法[4]:131。這類演算法包括Karatsuba算法Toom–Cook乘法英语Toom–Cook multiplication及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法(傅里叶乘法)[4]:132, 140<。

迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家尤金·薩拉明英语Eugene Salamin (mathematician)及奧地利科學家理查·布蘭特英语Richard Brent (scientist)独立提出[4]:87。這两个演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆一個特定的計算,将前一次的計算結果作为這一次的輸入值,使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出,現在稱為算术-几何平均数算法(AGM法)或高斯-勒让德算法[4]:87。因為薩拉明及布蘭特都曾对此進行修改,因此这个算法也稱為薩拉明-布蘭特演算法。

迭代演算法因為收斂速度比無窮級數快很多,在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加,一般來說正確的位數也會增加幾位,但迭代演算法每多一次計算,正確的位數會呈几何级数增长。例如薩拉明-布蘭特演算法每多一次計算,正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温英语Jonathan Borwein彼得·波温英语Peter Borwein提出一個迭代演算法,每多一次計算,正確位數會是之前的四倍,1987年時有另一個迭代演算法,每多一次計算,正確位數會是之前的五倍[78]。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年之間創下了若干个紀錄[79]。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價,因为这个算法需要的内存的大小明顯的要比無窮級數要多[79]

计算π的意义[编辑]

當數學家發現新的算法、電腦變得普及时,π的已知小數位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标

一般而言,π值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照約爾格·阿恩特(Jörg Arndt)及克里斯托夫·黑內爾(Christoph Haenel)的计算,39個數位已足夠運算絕大多數的宇宙学的计算需求,因為這個精確度已能夠将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一個原子大小[80]。 尽管如此,人們仍然是奋力地運算出π小数点后的上千甚至上百萬個數位[4]:17–19。這一部分是出于人類對打破記錄的冲动,因为那些和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條[81][82]。此外,这其中也有一些實際的好處,例如測試超级计算机、測試数值分析算法等(包括高精度乘法算法英语Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs)。在純粹數學的领域中,计算π的位数也能让人们来评定π的隨機性[4]:18

快速收敛级数[编辑]

一位男士的肖像
斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像,他在印度独立工作时提出了许多新颖的计算π的数列。

现代计算π的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代,人们发现了一些新的可用来计算π的无穷级数,其收敛速度可与迭代算法媲美,而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。[79]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱,他在1914年发表了许多与π相关的公式,这些公式十分新颖,极为优雅而又颇具数学深度,收敛速度也非常快。[4]:103–104下式即为一例,其中用到了模方程

这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列,包括梅钦公式。[4]:104第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀英语Bill Gosper,他在1985年算得了小数点后一千七百万位。[4]:104, 206拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河,此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟英语Chudnovsky brothers进一步发展了这类算法。[4]:110–111后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式,如下所示:

此公式每计算一项就能得到π的约14位数值[83],因而被用于突破圆周率的数位的计算。利用这个公式,楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿(109)位,法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿(2.7×1012)位,亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿(1013)位。[4]:110–111, 206[84][85]类似的公式还有拉马努金-佐藤级数英语Ramanujan–Sato series

2006年,加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ整数关系算法英语integer relation algorithm[86]按照以下模版生成了几个计算π的新公式:

其中qeπ格尔丰德-施奈德常数),k是一个奇数a, b, c是普勞夫计算出的有理常数。[87]

蒙特卡洛方法[编辑]

长度为ℓ的针散落在画满间距为t的平行线的平面上
布豐投針問題,多枚长度为的针随机地抛掷向平面。
大量的点随机的散落在一个内切四分之一圆的正方形内
随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。
蒙地卡羅方法基于随机试验结果计算π的近似值

蒙地卡羅方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法,通过进行大量重复试验计算事件发生的频率,按照大数定律(即当试验次数充分大时,频率充分地接近于概率)可以求得π的近似值[88]布豐投針問題就是其中一个应用的例子:当一枚长度为的针随机地往一个画满间距为t (t)的平行线的平面上抛掷n次, 如果针与平行直线相交了m次,那么当n充分大时就可根据以下公式算出π的近似值[89]

另一个利用蒙特卡罗方法计算π值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点,落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于π/4.[4]:39–40[90]


此外,还可以通过进行随机游走试验,并利用蒙特卡罗方法计算π值,如抛掷一枚均匀的硬币N次,并记录正面朝上的次数,所得结果中,正面朝上的次数nN服从二項分佈

因为硬币均匀,所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量Xk (k = 1,2,…),当抛掷结果为正面时Xk = 1否则为 -1,且Xk = ±1且取何值具有相同的概率(即,正面朝上和背面朝上的概率相同)。对随机变量Xk (k = 1,2,…,N)求和可得

k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”,即可得到 m−(N−m) = k。对式子进行变换,得 m = N+k/2,因此

,其中 k = -N, -N+2, -N+4, …, N−2, N

可以证明[91]

,以及

并且当N变大时,E(|WN|)的值会渐近于2N/π,因此当N充分大时可根据以下公式算出π的近似值:[92]

和其他计算π值的方法相比,蒙特卡洛方法收敛速度很慢,而且无论进行多少次实验,都无从得知π的估值已经精确到了第几位。因此,当追求速度或精度时,蒙特卡洛方法不适合用来估计π[4]:43[93]

阀门算法[编辑]

两个于1995年引入的算法开辟了研究π的新途径。因为每计算出一位数字,这个数字就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中,这种新引入算法被称为阀门算法英语spigot algorithm[4]:77–84[94]这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。[4]:77–84

1995年,美國數學家斯坦·瓦格纳英语Stan Wagon和斯坦利·拉比諾維茨(Stanley Rabinowitz)发明了一种簡單的阀门算法[94][4]:77[95],其運算速度類似arctan演算法,但速度比迭代算法要慢[4]:77

贝利-波尔温-普劳夫公式(BBP)是另一個阀门算法,屬於一种位數萃取演算法英语digit extraction algorithm。1995年,西蒙·普勞夫等人發現[4]:117, 126–128[96]

這個公式和其他的公式不同,可以在十六进制下計算π的任意位數小數,而不用計算所有前面的小數位數[4]:117, 126–128。一个十六进制下的数位可计算得到特定一个二进制的数位;想要得到一个八进制数位的话,计算一、两个十六进制小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體,不過人们還沒有发现針對十進制、可以快速產生特定位數小數數字的位數萃取演算法[97]。位數萃取演算法的一個重要用途是用來確認聲稱是計算到π小數位數的新記錄:若有聲稱是新紀錄的計算結果出現,先將十進制的數值轉換到十六進制,再用贝利-波尔温-普劳夫公式,去確認最後的一些位數(用亂數決定),若這些位數都對,人们就能有一定把握认为此計算結果是对的[85]

在1998年到2000年之間,分布式计算計畫PiHex英语PiHex利用貝拉公式(贝利-波尔温-普劳夫公式的一種變體)計算π的第1015位元,結果是0[4]:20[98]。在2010年9月,一名雅虎員工利用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦上計算π在2×1015個数位开始,往后数的256個位元,其第2×1015個位元剛好也是0[99]

用途[编辑]

由于 π 与圆密切相关, 它出现了许多几何学和三角学的公式中(特别是与圆、球体和椭圆相关的那些)。 此外π 也出现在其他学科的一些重要公式中,比如统计学、物理学,傅立叶分析和数论的公式。

几何学与三角学[编辑]

圆右上四分之一的被正方形覆盖的图。
圆的面积等于 π 乘以阴影部分面积。

π出现在基于圆的几何图形(如椭圆圆锥环面)的面积、体积公式中。下面是一些涉及到 π 的较为常见的公式。[100]

  • 半径为 r 的圆周长为 r
  • 半径为 r圆的面积πr2
  • 半径为 r 的球的体积为 4/3πr3
  • 半径为 r 的球面的面积为 r2

上述公式是n 维球的体积与其边界((n−1) 维球的球面)的表面积的特殊情况,具体将在后文给出解释。

描述由圆产生的图形的周长、面积或体积的定积分通常会涉及到 π。例如,表示半径为1的半圆的面积的积分为:[101]

由于 1 − x2 的积分表示上半圆(此处的平方根勾股定理得出), 从-1到1的积分 1
−1
可用来计算计算半圆与x之间的面积。

函数图象
正弦余弦函数的重复周期为 2π

三角函数要用到角,而数学家们常常用弧度作为角度的单位。π 在弧度制中起着重要作用,数学家将一个周角,即角度 360°,定义为 2π 弧度。[102]由这条定义可得,角度 180° 等于 π 弧度,角度 1° = π/180 弧度。[102]因此,常用的三角函数的周期为 π 的倍数;例如,正弦和余弦周期为2π[103]对于任何角度 θ 和任何整数 k,都有

,以及 [103]

拓扑学[编辑]

克莱因四次方英语Klein quartic单值化亏格为3且欧拉特征值为−4的面,作为双曲面菲诺平面英语Fano plane对称群PSL(2,7)英语PSL(2,7)的商。根据高斯-博内定理,基本域的双曲面积为8π.

常数 π 出现在将平面微分几何英语differential geometry of surfaces及其 拓扑学联系起来的高斯-博内定理中。具体来说,如果一个曲面Σ高斯曲率K,那么有

其中χ(Σ)是该曲面的欧拉示性数,是一个整数。[104]例如,一个曲率为1(也就是说其曲率半径英语radius of curvature也为1,对于球面而言此时的曲率半径与半径重合)的球面 S 的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算,其结果为2. 于是,我们有

即为半径为1的球面的表面积公式。

常数 π 还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中,特别是那些涉及通过陈-韦伊同态的特征类[105]

向量分析[编辑]

向量分析的方法可以通过分解成球谐函数来理解(图示)

向量分析是与向量場的性质有关的微积分的分支,并有许多物理应用,例如应用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源 Q牛顿位势英语Newtonian potential[106]

表示位于距原点 |x| 的单位质量(或电荷)的势能,而 k 是维度常数。在这里由 E 表示的场可以是(牛顿)引力場或(库仑)電場,是位势的负梯度

特殊情况有库仑定律牛顿万有引力定律高斯定律表明,通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面 S 的场的向外通量等于 4πkQ

\oiint

标准形式会将 的这个因子吸收到常数 k 中,但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外, 是单位球面的表面积,但我们没有假设 S 是球面。然而,作为散度定理的结果,由于远离原点的区域是真空(无源的),只有 R3\{0} 中的表面 S同调类与计算积分有关,因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替,特别是球形,因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势 V 的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数kQ 倍:

通过卷积就能得到物质(或电荷)的更一般分布,给出泊松方程

其中 ρ 是分布函数。

爱因斯坦方程表明,时空的曲率是由其中的物质能量产生的。

常数 π 在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用,爱因斯坦方程是形成廣義相對論基础的一个基本公式,并且把引力基本相互作用描述为物质能量引起的时空弯曲的结果:[107]

其中 Rμν里奇曲率張量R数量曲率gμν度量张量Λ宇宙學常數G万有引力常数c 是真空中的光速,而 Tμν應力-能量張量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟(and reduces to that in the weak field limit),而右边是分布函数的模拟乘以

柯西积分公式[编辑]

複雜的解析函數可以以一系列的流綫和等電位綫(許多以直角相交的曲綫)視覺化,圖中是伽瑪函數的複數對數。

复分析中,沿复平面若尔当曲线围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明,对任意若尔当曲线γ内任一点z0,以下围道积分给出[108]

该命题是柯西积分定理的直接推论,后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变,因而沿任一曲线的积分和沿以z0为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地,该公式对不通过z0点的任意可求长曲线都成立,但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数

一般形式的柯西積分公式建立了全纯函数 f(z)在若尔当曲线γ上的值与曲线内任意点z0处值的关系:[109][110]

柯西积分定理是留数定理的一个特例。根据留数定理,在区域内除去有限个解析的亚纯函数g(z)在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足:

Γ函数与斯特灵公式[编辑]

通过维拉瑞索圆英语Villarceaux circles将三个球面霍普夫纤维化,下方是 富比尼–施图迪度量黎曼球面 with its 富比尼–施图迪度量 (如图所示的三个平行曲面). 恒等式S3(1)/S2(1) = π/2可以确定一个数列。

阶乘函数 n! 的值等于所有小于等于 n 的正整数之积,它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是階乘的推广。它在复平面的右半平面定义为:

再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整个复数域。当自变量取正整数时,Γ函数给出阶乘(n-1)!;当自变量取半整数时,计算结果含有π。例如[111]

根据魏尔施特拉斯分解定理,Γ函数可分解为如下的无穷乘积:[112]

其中γ歐拉-馬斯刻若尼常數。利用该分解公式和Γ函数在z = 1/2的值Γ(1/2)2 = π,亦可以证明沃利斯乘积式。Γ函数和黎曼ζ函數函数行列式英语functional determinant的恒等式存在关联,其中π扮演着重要的角色

Γ函数常被用于计算 n 维欧氏空间中n 维球的体积和n 维球面的表面积。对 n 维欧氏空间中半径为 rn 维球,其体积Vn(r)和表面积Sn−1(r)满足:[113]

两者还满足如下的关系式:

n很大时,利用Γ函数可以得到关于阶乘n!的一个近似公式。该公式被称为斯特靈公式[114],等价于:

斯特灵近似的几何应用之一是埃尔哈特体积猜想英语Ehrhart's volume conjecture。将n维欧几里得空间的单纯形记作Δn(n+1)Δn则表示该单纯形的所有面扩大n+1。于是

这是仅包含一个晶格点的凸体体积的(最佳)上界[115]

数论与黎曼ζ函数[编辑]

每个质数都有一个关联的普魯法群英语Prüfer group,即圆的算数定域。分析数论中的L函數也定域在每个质数p上。
基于韦伊猜想英语Weil conjecture on Tamagawa numbers的巴塞尔问题的解: 的数值是模群英语modular group中一个基本域的双曲面积的 倍。

黎曼ζ函数ζ(s) 在数学的许多领域均有应用。当自变量 s = 2 ,可以写作

找到这个无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年,欧拉解决了这个问题,他得到该无穷级数等于 π2/6[71]。欧拉的结论可以推导出一个数论中的结果,即两个随机整数互质(即无公因数)的概率为6/π2 [4]:41–43[116]。由于任意整数可以被质数p整除的概率1/p(例如,在所有正整数中,连续7个数中有且只有一个可以被7整除)。因此,任取两个随机整数都能被质数p整除的概率为 1/p2,至少有一个不能被整除的概率则为 1 − 1/p2。又因为一个随机整数能否被两个不同的质数整除是相互独立事件,那么两个随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数p的无穷乘积[117]

这个结论可以结合随机数生成器,利用蒙特卡罗方法计算 π 的近似值。[4]:43

巴塞尔问题的结论意味着几何导出量 π 的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山-志村定理的一个特殊情况,是安德烈·韦伊对玉河数的猜想英语Weil's conjecture on Tamagawa numbers的一个特例,即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数 p 的无穷乘积能够等于一个几何量——某个局部对称空间英语locally symmetric space体积的倒易。在巴塞尔问题中,这个空间是一个双曲3-流形英语hyperbolic 3-manifold SL2(R)/SL2(Z)英语modular group[118]

函数同样满足黎曼方程的公式,其中用到了 π 和伽玛公式:

除此之外, 函数导数也满足

最终的结果是 π 可以从谐振子泛函行列式英语functional determinant中求得。这个泛函行列式可以通过一个无穷乘积展开式计算, 而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。[119]这种方法可以应用于量子力学, 尤其是玻尔模型中的变分[120]

傅里叶级数[编辑]

π出现在P进数中的表示(如图),它們是普魯法群英语Prüfer group的元素。泰特的論文英语Tate's thesis很大程度地利用了這個系統。[121]

周期函数傅里叶级数中,很自然地出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群T =R/Z上的函数。傅里叶分解指出,一个T上的复值函数f可表示为无穷多个T酉特征英语unitary character的线性叠加之和。也就是说,T圓群U(1)(模为1的复数组成的乘法群)的映射是连续群同態T的特征都具有的形式,这是一个定理。

T上存在一个唯一的特征值,直到复共轭,那是一个群同态。在圆群中使用 哈尔测度,常数是这个特征值的拉东-尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为2的正整数倍。[17]因此,常数是一个独特的数字,以至于配备了其哈尔测度的群T,具有对于整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性[122]。这是泊松和公式英语Poisson summation formula的一维版本。

模形式与Θ函数[编辑]

常數π模形式Θ函數密切相关——比如,椭圆曲线中的j变量英语j-invariant就很大程度上涉及到了楚德诺夫斯基算法(一种快速计算π的方法)。

模形式是以在上半平面全純函數的在模群英语modular group(或其子群,的一格)下的變換特性歸納。Θ函數便是一例:

它是一種名為雅可比形式英语Jacobi form的模形式,[123]有時以nome英语nome (mathematics)表達。

常數π是一個特殊的常數,它會使雅可比Θ函數形成自守形式,即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。,例如:

它使得θ必然在離散海森伯群下以表示(representation)變換。一般模形式和其他Θ函數也包含π,這也是根據史東–馮紐曼定理英语Stone–von Neumann theorem[123]

柯西分布与位势论[编辑]

箕舌线,其英文名来源于玛利亚·阿涅西(1718–1799),是柯西分布的一个几何构筑图。

柯西分布

是一个概率密度函数。其总概率等于1,因为下列积分:

柯西分布的香农熵等于log(4π), 也含 π

柯西分布控制做布朗运动的粒子通过膜的通道

柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的福斯坦堡测度英语Furstenberg boundary和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核[124]共轭谐波函数英语Conjugate harmonic function以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。 希尔伯特变换H 是一个由奇异积分柯西主值给出的积分变换

常数π是唯一的(正)归一化因子因此 H 定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的线性复结构英语linear complex structure[125]。 和傅里叶变换一样,希尔伯特变换就其在希尔伯特空间 L2(R)的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化,它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子[126]。常数π是唯一的能使这个变换幺正的归一化因子。

複變動態系統[编辑]

一個複數平面下,曼德博集合的黑色圖案,背景為藍色的
可以從曼德博集合中計算π,計算方式和計算從(−0.75, ε)點開始,一直到發散之前的次數有關

大衛·波爾(David Boll)在1991年發現在曼德博集合分形中也有π的出現[127]。他檢查在曼德博集合在(−0.75, 0)位置的特性。若考慮坐標在「頸部」(−0.75, ε)的點,而ε趨近於零,在發散之前迭代的次數和ε相乘,會趨近於π。若是在右側尖點處附近的點(0.25, ε)也會有類似的特性:在發散之前迭代的次數和ε的平方根相乘,也會趨近於π[127][128]

数学之外的π[编辑]

描述物理现象[编辑]

即便π不是一个物理常数π也经常出现在描述宇宙的基本原则方程中,因为π与圆以及球坐标系的关系密切。比方说,这是经典力学领域一个简单的公式,给出了长度为L的单摆做小幅摆动的近似周期(g为地球引力加速度常数):[129]

海森堡不确定性原理是量子力学的一个基本公式,它表明在对一个粒子测量时,其位置不确定度(Δx)与动量不确定度(Δp)不可能同时达到任意小(h为普朗克常数):[130]

π近似於三这一特性,和电子偶素的半衰期相對較長有密切的联系。其半衰期的倒數和精细结构常数α的關係為[131]

其中m為電子質量。

π也出現在許多結構工程的公式中,例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為L截面二次轴矩I的細長形物體,在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載F[132]

流體動力學斯托克斯定律中也有π。斯托克斯定律是半径约为R的小球體在黏度η流體中以速度v運動時會受到的阻力满足[133]

在理想状态下,一个河流的曲折程度——也就是河道本身的长度与源头到入海口的比值——随着时间的推移逐渐趋向于π。河流外边缘的快速水流的弯曲会导致河流内边缘加倍的侵蚀,而河道因此变得更加弯曲,使得整个河流弯折得更加厉害。然而,这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方,导致“短路”,并在此过程中形成一个河迹湖。这两种相反的因素使得河道长度与源头到入海口的比值的平均值为π[134][135]

π的记忆技巧[编辑]

π文字學(或譯作圆周率π的语言学)是指人们記住π大量的位值[4]:44–45,并将其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全中的做法。維爾·米納(Rajveer Meena)於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的π,创下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。[136]2006年,日本退休工程師原口證,自稱已經背誦了十萬個小數位,但他未獲健力士世界紀錄大全認證。[137]

一個常用於記憶π的技巧是背誦一個以單詞的長度代表π數值的故事或詩歌:第一個單詞有三個字母,第二個單詞有一個字母,第三個單詞有四個字母,第四個單詞有一個字母,第五個單詞有五個字母,如此類推。一個早期的例子是由英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌:「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」[4]:44–45這一類的詩歌有時在英文中被稱為「piem」。除了英文,用於記憶π的詩歌亦有不同語言的版本[4]:44-45。但是,創下紀錄的記憶π的人一般並不以詩歌記憶π,而是用如記憶數字規律或軌跡法英语method of loci的方法。[138]

有好幾位作家仿照上述记忆技巧,用π的數值創作了新型的約束寫作英语constrained writing方式,其中單詞的長度須符合π的數值。《The Cadaeic Cadenza英语Cadaeic Cadenza》以上述技巧包含了π前3835位的值[139],一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬個單詞,其中每個單詞亦代表了π的一個位值。[140]

大众文化中的π[编辑]

Pi Pie at Delft University
一個π派。圓形的西式餡餅是個常見的π雙關語(在英語中,圓周率和派的發音相同)。

也許因為π的公式很簡短而且四處可見, π比其他數學常数在流行文化中更常見。[141]

在2008年由英國公開大學英國廣播公司聯合制作的記錄片《数学的故事英语The Story of Maths》于2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片讲述了英國數學家马库斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時,展示出歷史上π最精確的計算公式的信息图形[142]

在巴黎的科学博物馆發現宮中有一個稱為「π房」的圓形房間。牆上刻有π的707位數字。數字貼在圓頂狀的天花板上,由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家威廉·尚克思英语William Shanks的計算結果,但是该结果于第528位后開始出現錯誤。這錯誤在1946年被發現,1949年它被修正。[143][4]:50

卡尔·萨根的小说《接觸未來》中则暗示说,宇宙的创造者在π的数字中暗藏了一则信息。[144]π的数字也被用在凱特·布希所出的专辑Aerial英语Aerial (album)中的《Pi》的歌词里。[145]

在美国,人们在3月14日庆祝圓周率日,一个在学生中很流行的节日。[146]一些自称“数学极客”的人常常用π与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话麻省理工学院则有几个包含“3.14159”的大学歡呼口號英语cheering[147]2015年的圆周率日格外重要,因为按照美式的写法,当天的日期时间3/14/15 9:26:53较之于其他的圆周率日包含了更多位数的π[148]

北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上,谷歌使用了一些包含π在内的数学或科学常数进行竞价。[149]

在1958年,阿尔伯特·伊格尔英语Albert Eagle提议π换成τ(tau)以便简化公式。这里的τ被定义为π的一半。[150]然而,没有任何其他作者曾这样使用过τ。有些人使用一个不同的值,τ = 6.283185... = 2π[151]这些人辩称τ,不论是作为弧度制下一个圆形周长的1,还是作为弧长与半径的比值(而不是与直径的比值),都比π显得更加自然,也能因此简化掉许多公式。[152][153]已经有媒体报道称,有人在6月28日庆祝“τ节”,并吃“两个派”,因为τ的值大小约为6.28。[154]然而,对于τ的使用还并没有在数学界成为主流。[155]

在1897年,一个业余的美国数学家试图通过印第安纳州议会来通过被后世称作印第安纳圆周率法案的法案。这一法案因试图以法律命令强制规定一个数学常数而臭名远扬。该法案描述了一个化圆为方的方法,并间接提到了π的错误值,例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决,但是被参议院否决。[4]:211–212[156][157]

參考資料[编辑]

註腳[编辑]

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文獻[编辑]

延伸閱讀[编辑]

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外部連結[编辑]